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Polstelle und Definitionslücke unterscheiden
Nullstellen des ursprünglichen Nenners sind Definitionslücken. Erst nach dem Faktorisieren und Kürzen entscheidest du: Bleibt der problematische Faktor im Nenner, liegt eine Polstelle vor. Verschwindet er vollständig, ist die Lücke hebbar.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wo entstehen Definitionslücken?
Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form
$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$
Durch null darfst du nicht teilen. Deshalb gehören alle Nullstellen des ursprünglichen Nenners $Q(x)$ nicht zum Definitionsbereich. Sie sind zunächst Definitionslücken.
Definitionslücke
Eine Definitionslücke ist eine Zahl $x_0$, für die der gegebene Funktionsterm nicht definiert ist. Bei einem Bruchterm gilt dort $Q(x_0)=0$.
Für
$$f(x)=\frac{x-3}{x-2}$$
wird der Nenner bei $x=2$ null. Der Zähler hat dort den Wert $2-3=-1$. Daher ist $x=2$ eine Definitionslücke und unmittelbar eine Polstelle.
Polstelle oder hebbare Lücke?
Wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle null werden, reicht Einsetzen nicht aus. Faktorisiere beide Polynome und kürze gemeinsame Faktoren. Beachte dabei: Das Kürzen ändert nicht nachträglich den Definitionsbereich des ursprünglichen Terms.
Polstelle
Bei einer Polstelle bleibt nach vollständigem Kürzen ein Nennerfaktor für $x_0$ übrig. Nähert sich $x$ dieser Stelle, wachsen die Funktionswerte betragsmäßig unbegrenzt. Die Gerade $x=x_0$ ist die senkrechte Asymptote.
Hebbare Definitionslücke
Eine Definitionslücke bei $x_0$ ist hebbar, wenn ihr Nennerfaktor vollständig gekürzt werden kann. Der gekürzte Term besitzt dort einen endlichen Wert. Mit diesem Wert kann das Loch im Graphen stetig geschlossen werden.
Eine gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner ist nicht automatisch hebbar. Entscheidend ist, ob nach dem vollständigen Kürzen noch ein Faktor im Nenner übrig bleibt.
Bei
$$h(x)=\frac{x-1}{(x-1)^2}$$
sind Zähler und Nenner bei $x=1$ null. Für $x\ne1$ darfst du einmal kürzen:
$$h(x)=\frac{1}{x-1}.$$
Der Faktor $x-1$ bleibt im Nenner. Deshalb ist $x=1$ eine Polstelle und keine hebbare Lücke.
So entscheidest du Schritt für Schritt
- Faktor bleibt im Nenner: Polstelle. - Faktor ist vollständig verschwunden: hebbare Definitionslücke.
- Bestimme alle Nullstellen des ursprünglichen Nenners. Sie sind die Definitionslücken.
- Faktorisiere Zähler und Nenner vollständig.
- Kürze gemeinsame Faktoren, aber behalte die ursprünglichen Definitionslücken im Blick.
- Prüfe jede Lücke im gekürzten Term:
- Berechne bei einer hebbaren Lücke den Lochwert durch Einsetzen in den gekürzten Term.
Untersuche
$$f(x)=\frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}.$$
Der ursprüngliche Nenner wird bei $x=1$ und $x=2$ null. Mit $x^2-1=(x-1)(x+1)$ erhältst du für $x\ne1,2$:
$$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}.$$
Bei $x=1$ ist der problematische Faktor verschwunden. Die Lücke ist hebbar; ihr Lochwert ist
$$\frac{1+1}{1-2}=-2.$$
Bei $x=2$ bleibt der Nenner null. Dort liegt eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote $x=2$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Nullstellen des sind zunächst Definitionslücken. Verschwindet ihr Faktor beim Kürzen , ist die Lücke hebbar. Bleibt der Faktor im , liegt eine Polstelle vor. Der endliche Wert des gekürzten Terms ist bei einer hebbaren Lücke der .
Was verrät die Polordnung?
Kommt der Faktor $x-x_0$ im Nenner $m$-mal und im Zähler $k$-mal vor, vergleichst du die Vielfachheiten:
- Ist $k$ kleiner als $m$, bleibt eine Polstelle der Ordnung $m-k$.
- Für $k\ge m$ verschwindet der Nennerfaktor vollständig; die Lücke ist hebbar.
Nach dem Kürzen gilt für die Polordnung:
- ungerade Ordnung: Die Funktionswerte wechseln beim Überschreiten der Polstelle das Vorzeichen;
- gerade Ordnung: Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.
$1/x$ hat bei $x=0$ eine Polstelle erster Ordnung. Links von $0$ ist der Funktionswert negativ, rechts davon positiv: Es gibt einen Vorzeichenwechsel.
$4/x^2$ hat bei $x=0$ eine Polstelle zweiter Ordnung. Auf beiden Seiten sind die Funktionswerte positiv und wachsen gegen $+\infty$: Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.
Die Polstelle ist die ausgeschlossene Zahl $x_0$. Die senkrechte Asymptote ist dagegen die Gerade $x=x_0$. Diese beiden Begriffe bezeichnen also nicht dasselbe Objekt.
Üben: Zwei Lücken untersuchen
Untersuche
$$p(x)=\frac{2x}{x(x-2)}.$$
Bestimme die ursprünglichen Definitionslücken, klassifiziere sie und gib bei einer hebbaren Lücke den Lochwert an.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Definitionslücke des ursprünglichen Nenners
- Faktor bleibt nach dem Kürzen im Nenner: Polstelle
- ungerade Ordnung: mit Vorzeichenwechsel
- gerade Ordnung: ohne Vorzeichenwechsel
- Faktor verschwindet vollständig: hebbare Lücke
- gekürzter Term liefert den Lochwert
- Faktor bleibt nach dem Kürzen im Nenner: Polstelle