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Arithmetische Folgen erkennen und berechnen
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern immer gleich. Kennst du das Anfangsglied $a_1$ und die konstante Differenz $d$, kannst du jedes Glied direkt berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine arithmetische Folge?
Untersuche die Abstände zwischen benachbarten Gliedern. Sind alle Differenzen gleich, ist die Folge arithmetisch.
Arithmetische Folge
Eine Zahlenfolge $(a_n)$ heißt arithmetisch, wenn für alle benachbarten Glieder dieselbe Differenz $d$ gilt:
$$a_{n+1}-a_n=d$$
Das Anfangsglied $a_1$ und die Differenz $d$ bestimmen die gesamte Folge.
Betrachte die Folge
$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\dots$$
Die Differenzen lauten:
$$7-3=4,\quad 11-7=4,\quad 15-11=4$$
Sie sind konstant. Daher ist die Folge arithmetisch mit $a_1=3$ und $d=4$.
Die Folge $2,4,8,16,\dots$ ist dagegen nicht arithmetisch: Ihre Differenzen $2,4,8,\dots$ sind nicht konstant.
Gleicher Betrag reicht nicht: Bei $1,-1,1,-1,\dots$ wechseln die Differenzen zwischen $-2$ und $2$. Die Folge ist deshalb nicht arithmetisch.
Wie berechnest du ein beliebiges Glied?
Du kannst eine arithmetische Folge auf zwei Arten beschreiben.
Die rekursive Vorschrift berechnet ein Glied aus seinem Vorgänger:
$$a_{n+1}=a_n+d$$
Die explizite Vorschrift führt direkt zum gesuchten Glied:
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
Warum steht dort $n-1$? Vom ersten bis zum $n$-ten Glied gehst du genau $n-1$ Differenzschritte.
Gegeben sind $a_1=3$ und $d=4$. Gesucht ist $a_{27}$.
Zwischen $a_1$ und $a_{27}$ liegen $26$ Schritte. Deshalb:
$$a_{27}=3+26*4=107$$
Das 27. Glied ist also $107$. Du musst die vorherigen 26 Glieder nicht einzeln aufschreiben.
Beginnt die Nummerierung ausnahmsweise mit $a_0$, lautet die explizite Vorschrift $a_n=a_0+nd$. Prüfe deshalb immer, bei welchem Index die Folge startet.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Folge $5,8,11,14,\dots$ gilt $a_1=$ und $d=$. Daher ist $a_{10}=$.
Wie bestimmst du fehlende Angaben?
Kennst du zwei beliebige Glieder $a_i$ und $a_j$, verteilst du ihre Wertänderung auf die Anzahl der dazwischenliegenden Schritte:
$$d=(a_j-a_i)/(j-i)$$
Anschließend gehst du vom bekannten Glied zum Anfang zurück:
$$a_1=a_i-(i-1)d$$
Gegeben sind $a_3=-3$ und $a_8=22$.
Vom dritten bis zum achten Glied liegen fünf Schritte. Der Wert wächst dabei um $25$:
$$d=(22-(-3))/(8-3)=25/5=5$$
Vom ersten bis zum dritten Glied liegen zwei Schritte. Daher:
$$a_1=-3-2*5=-13$$
Probe:
$$a_8=-13+7*5=22$$
Die Folge beginnt also mit $-13$ und hat die Differenz $5$.
Teile die Wertänderung durch die Anzahl der Schritte, nicht durch die Anzahl der genannten Glieder. Zwischen $a_3$ und $a_8$ liegen $8-3=5$ Schritte.
Wie addierst du die ersten Glieder?
Die Summe der ersten $n$ Glieder heißt Partialsumme $s_n$:
$$s_n=a_1+a_2+\dots+a_n$$
Bei einer arithmetischen Folge haben das erste und letzte Glied dieselbe Summe wie das zweite und vorletzte Glied. Dieses Paarungsprinzip führt zu
$$s_n=(n/2)(a_1+a_n)$$
Mit $a_n=a_1+(n-1)d$ erhältst du auch
$$s_n=(n/2)(2a_1+(n-1)d)$$
Gegeben sind $a_1=1$, $d=23$ und $n=10$.
Zuerst berechnest du das letzte Glied:
$$a_{10}=1+9*23=208$$
Dann setzt du erstes und letztes Glied in die Summenformel ein:
$$s_{10}=(10/2)(1+208)=5*209=1045$$
Die Summe der ersten zehn Glieder beträgt $1045$.
Verwechsle $a_n$ und $s_n$ nicht: $a_n$ ist ein Folgenglied, $s_n$ ist die Summe vom ersten bis zum $n$-ten Glied.
Welche weiteren Eigenschaften sind nützlich?
Das Vorzeichen von $d$ beschreibt das Verhalten der Folge:
- $d>0$: Die Folge steigt.
- $d<0$: Die Folge fällt.
- $d=0$: Die Folge ist konstant.
Jedes innere Glied ist außerdem das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn:
$$a_n=(a_{n-1}+a_{n+1})/2$$
Diese Aussage gilt nur für Glieder, die zwei Nachbarn besitzen.
In einer arithmetischen Folge stehen die drei aufeinanderfolgenden Glieder $7,x,15$.
Das mittlere Glied ist der Mittelwert seiner Nachbarn:
$$x=(7+15)/2=11$$
Tatsächlich sind beide Differenzen gleich: $11-7=4$ und $15-11=4$.
Vertiefung: Folgen höherer Ordnung
Die Quadratzahlen $1,4,9,16,25,\dots$ sind keine gewöhnliche arithmetische Folge. Ihre ersten Differenzen lauten jedoch
$$3,5,7,9,\dots$$
Diese Differenzen bilden selbst eine arithmetische Folge mit $d=2$. Deshalb nennt man die Quadratzahlen eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Arithmetische Folge
- Erkennen: konstante Differenz
- Beschreiben: rekursiv oder explizit
- Berechnen: Glieder, Anfangswert und Differenz
- Addieren: Partialsumme der ersten Glieder
- Prüfen: Mittelwert der Nachbarglieder
- Verhalten: steigend, fallend oder konstant
- Vertiefen: wiederholte Differenzen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern des Themas, wenn du zuerst die konstante Differenz erkennst, dann die passende Formel auswählst und dein Ergebnis durch Einsetzen oder Differenzen prüfst.