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Folgen und Reihen: Regeln, Grenzwerte, Summen
Eine Folge ordnet jedem Index ein bestimmtes Folgenglied zu. Eine Reihe entsteht dagegen aus den Partialsummen von Folgengliedern. Du lernst hier, Folgen zu bilden, arithmetische und geometrische Muster zu unterscheiden, ihr Grenzverhalten zu beschreiben und einfache Reihen zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So liest und bildest du eine Folge
Eine reelle Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Der Index $n$ bezeichnet die Position, $a_n$ das Folgenglied an dieser Position. Anders als in einer Menge darf derselbe Wert mehrfach vorkommen. Der Startindex muss angegeben sein, denn eine Folge kann zum Beispiel bei $n=0$ oder bei $n=1$ beginnen.
Explizite Bildungsvorschrift
Eine explizite Formel berechnet $a_n$ direkt aus $n$. Bei $a_n=2n$ und Startindex $n=1$ lauten die ersten Glieder $2,4,6,8,\dots$.
Rekursive Bildungsvorschrift
Eine Rekursion berechnet neue Glieder aus vorherigen Gliedern. Sie braucht mindestens einen Startwert. Werden zwei Vorgänger verwendet, sind in der Regel zwei Startwerte nötig.
Gegeben sind $a_1=1$ und $a_{n+1}=a_n+n$.
- $a_2=a_1+1=1+1=2$
- $a_3=a_2+2=2+2=4$
- $a_4=a_3+3=4+3=7$
Die Folge beginnt also mit $1,2,4,7,11,\dots$. Bei einer Rekursion rechnest du Schritt für Schritt; eine explizite Formel würde ein entferntes Glied direkt liefern.
Arithmetische und geometrische Muster unterscheiden
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz benachbarter Glieder konstant:
$$a_{n+1}-a_n=d$$
Beginnt die Folge bei $n=1$, gilt:
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
Die Folge $2,7,12,17,\dots$ hat stets die Differenz $d=5$. Daher ist sie arithmetisch und besitzt die Formel
$$a_n=2+(n-1)\cdot5=5n-3.$$
Damit ist $a_{10}=2+9\cdot5=47$.
Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient benachbarter, von null verschiedener Glieder konstant:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$$
Für Startindex $n=1$ gilt:
$$a_n=a_1q^{n-1}.$$
Die Folge $3,\frac32,\frac34,\frac38,\dots$ hat den konstanten Quotienten $q=\frac12$. Deshalb gilt
$$a_n=3\left(\frac12\right)^{n-1}.$$
Das fünfte Glied ist $a_5=3\left(\frac12\right)^4=\frac3{16}$.
Konstante Differenz bedeutet arithmetisch; konstanter Quotient bedeutet geometrisch. Gleich große Schrittweiten und gleich große Faktoren sind nicht dasselbe.
Grenzverhalten von Folgen beurteilen
Eine Folge ist monoton wachsend, wenn $a_{n+1}\ge a_n$ für alle betrachteten Indizes gilt. Sie ist monoton fallend, wenn $a_{n+1}\le a_n$ gilt. Monotonie verlangt ein durchgehendes Verhalten; die Schrittweiten müssen dabei nicht gleich sein.
Eine Folge ist beschränkt, wenn alle ihre Glieder zwischen einer unteren und einer oberen Schranke liegen.
Grenzwert und Konvergenz
Die Folge $(a_n)$ konvergiert gegen $a$, wenn ihre Glieder für genügend große $n$ beliebig nahe bei $a$ liegen. Man schreibt $a_n\to a$ oder
$$\lim_{n\to\infty}a_n=a.$$
Existiert kein reeller Grenzwert, heißt die Folge divergent. Eine Folge mit Grenzwert $0$ heißt Nullfolge.
Untersuche
$$a_n=\frac{2n+1}{n+3}.$$
Teile Zähler und Nenner durch $n$:
$$a_n=\frac{2+\frac1n}{1+\frac3n}.$$
Für $n\to\infty$ gehen $\frac1n$ und $\frac3n$ gegen $0$. Deshalb gilt $a_n\to2$. Gleichwertig ist $a_n-2=-\frac5{n+3}$; dieser Abstand geht gegen $0$.
Beschränktheit allein reicht nicht für Konvergenz: $a_n=(-1)^n$ bleibt zwischen $-1$ und $1$, springt aber dauerhaft zwischen beiden Werten. Dagegen ist jede beschränkte monotone reelle Folge konvergent. Der Satz garantiert die Existenz eines Grenzwerts, berechnet ihn aber nicht automatisch.
Aus Folgengliedern werden Partialsummen
Eine endliche Summe schreibst du mit dem Summenzeichen. Zum Beispiel bedeutet
$$\sum_{k=1}^{4}k=1+2+3+4=10.$$
Der Laufindex $k$ nimmt nacheinander alle ganzen Werte von der Untergrenze bis zur Obergrenze an.
Reihe und Partialsumme
Zu einer Folge $(a_k)$ gehört die $n$-te Partialsumme
$$s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.$$
Die Folge der Partialsummen $(s_n)$ heißt unendliche Reihe und wird als $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ notiert. Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Partialsummenfolge einen Grenzwert besitzt.
Folge und Reihe dürfen nicht verwechselt werden: $a_n$ ist ein einzelnes Folgenglied, $s_n$ ist die Summe der ersten $n$ Glieder.
Für die arithmetische Folge $2,7,12,\dots$ ist $a_{10}=47$. Die Summe der ersten zehn Glieder ist
$$s_{10}=\frac{10}{2}(2+47)=245.$$
Die Formel $s_n=\frac n2(a_1+a_n)$ nutzt, dass sich erstes und letztes, zweites und vorletztes Glied jeweils zur gleichen Zahl ergänzen.
Aus der Konvergenz einer Reihe folgt notwendig $a_k\to0$. Die Umkehrung gilt nicht: Glieder, die gegen $0$ gehen, garantieren noch keine konvergente Reihe.
Vertiefung: Geometrische Reihen berechnen
Für eine geometrische Folge mit $a_k=a_1q^{k-1}$ lautet die $n$-te Partialsumme bei $q\ne1$:
$$s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}.$$
Ist $|q|<1$, dann gilt $q^n\to0$. Deshalb konvergiert die unendliche geometrische Reihe und hat die Summe
$$\sum_{k=1}^{\infty}a_1q^{k-1}=\frac{a_1}{1-q}.$$
Für $a_1\ne0$ divergiert die geometrische Reihe bei $|q|\ge1$. Ist dagegen $a_1=0$, besteht sie nur aus Nullen und konvergiert für jedes $q$ gegen $0$. Im Sonderfall $q=1$ gilt $s_n=na_1$.
Die ersten vier Glieder der geometrischen Folge $4,2,1,\frac12,\dots$ ergeben
$$s_4=4+2+1+\frac12=\frac{15}{2}.$$
Da $q=\frac12$ und damit $|q|<1$ gilt, konvergiert die unendliche Reihe. Ihre Summe ist
$$s=\frac{4}{1-\frac12}=8.$$
Die Partialsumme $\frac{15}{2}=7{,}5$ liegt bereits nahe am Grenzwert $8$; die noch fehlenden positiven Glieder schließen den Abstand weiter.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Folgen und Reihen
- Folge: geordnete Glieder $a_n$
- Bildung: explizit oder rekursiv
- Muster: arithmetisch oder geometrisch
- Verhalten: monoton, beschränkt, konvergent oder divergent
- Reihe: Folge der Partialsummen $s_n$
- Endliche Summe: feste Obergrenze
- Unendliche Reihe: Grenzwert der Partialsummen
- Geometrische Reihe: für $a_1\ne0$ konvergent bei $|q|<1$
- Folge: geordnete Glieder $a_n$