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Lineares Wachstum erkennen und berechnen
Bei linearem Wachstum ändert sich eine Größe in gleich langen Zeitabschnitten immer um denselben Betrag. Ist dieser Betrag positiv, wächst die Größe; ist er negativ, liegt eine lineare Abnahme vor. Du lernst, solche Vorgänge zu erkennen, mit einer Funktion zu beschreiben und Werte oder Zeitpunkte zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine lineare Änderung?
Stell dir eine Spardose vor: Zu Beginn liegen 30 Euro darin, und jeden Monat kommen 5 Euro hinzu. Die Zeitabstände sind gleich lang und der Bestand ändert sich jedes Mal um denselben absoluten Betrag. Genau das macht den Vorgang linear.
Lineare Änderung
Eine Größe ändert sich linear, wenn bei gleichen Abständen der unabhängigen Variablen stets derselbe Betrag hinzukommt oder wegfällt. Die Änderungsrate gibt diese Änderung pro Schritt an. Der Graph ist eine Gerade.
- Positive Änderungsrate: lineares Wachstum.
- Negative Änderungsrate: lineare Abnahme.
- Änderungsrate null: Der Wert bleibt konstant; es findet kein Wachstum und keine Abnahme statt.
„Immer 5 Euro mehr“ beschreibt eine konstante absolute Änderung. „Immer 5 Prozent mehr“ beschreibt dagegen keine lineare Änderung, weil der absolute Zuwachs vom jeweiligen Bestand abhängt.
Wie stellst du die Funktion auf?
Für eine lineare Änderung verwendest du
$$N(t)=N_0+a\cdot t$$
| Zeichen | Bedeutung | typische Einheit |
|---|---|---|
| $N(t)$ | Wert zum Zeitpunkt $t$ | zum Beispiel Liter |
| $N_0$ | Anfangswert bei $t=0$ | zum Beispiel Liter |
| $a$ | Änderung pro Zeiteinheit | zum Beispiel Liter pro Minute |
| $t$ | Anzahl der Zeiteinheiten | zum Beispiel Minuten |
Das Vorzeichen gehört zur Änderungsrate: Bei einer Abnahme ist $a$ negativ. Vereinheitliche außerdem die Einheiten, bevor du einsetzt.
Eine neu gepflanzte Hecke ist $0{,}5\,\mathrm m$ hoch und wächst $10\,\mathrm{cm}$ pro Jahr.
- Einheiten vereinheitlichen: $10\,\mathrm{cm/Jahr}=0{,}1\,\mathrm{m/Jahr}$.
- Anfangswert ablesen: $N_0=0{,}5\,\mathrm m$.
- Positive Änderungsrate einsetzen: $a=0{,}1\,\mathrm{m/Jahr}$.
Damit lautet das Modell
$$N(t)=0{,}5+0{,}1t$$
Dabei wird $t$ in Jahren und $N(t)$ in Metern gemessen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Klaus hat anfangs 30 Euro und spart monatlich 5 Euro. Der Anfangswert ist Euro, die Änderungsrate ist Euro pro Monat und ihr Vorzeichen ist . Die Funktion lautet .
Wie berechnest du Werte und Zielzeitpunkte?
Willst du den Wert zu einer bekannten Zeit bestimmen, setzt du $t$ ein. Suchst du den Zeitpunkt für einen bekannten Zielwert, setzt du diesen für $N(t)$ ein und löst nach $t$ auf.
Ein leeres Schwimmbecken wird mit $20\,\mathrm{l/min}$ gefüllt und fasst $54\,000\,\mathrm l$. Das Modell ist
$$N(t)=20t$$
Nach einer Stunde, also 60 Minuten, befinden sich
$$N(60)=20\cdot60=1\,200\,\mathrm l$$
im Becken.
Für die vollständige Füllung setzt du den Zielwert $54\,000\,\mathrm l$ ein:
$$54\,000=20t$$
$$t=\frac{54\,000}{20}=2\,700\,\mathrm{min}=45\,mathrm h$$
Die Einheit und der Kontext passen: 45 Stunden entsprechen 2 700 Minuten.
Wie findest du die Änderungsrate und die rekursive Regel?
Kennst du zwei Punkte $(t_1\mid N_1)$ und $(t_2\mid N_2)$, teilst du die Wertänderung durch die Änderung von $t$:
$$a=\frac{N_2-N_1}{t_2-t_1}$$
Der Nenner darf nicht null sein, denn die beiden Punkte müssen verschiedene $t$-Werte besitzen.
Die Punkte $A(2{,}5\mid17{,}5)$ und $B(5\mid25)$ liegen auf einer Geraden.
$$\Delta t=5-2{,}5=2{,}5$$
$$\Delta N=25-17{,}5=7{,}5$$
$$a=\frac{7{,}5}{2{,}5}=3$$
Der Wert nimmt also pro Einheit von $t$ um 3 zu.
Die explizite Formel $N(t)=N_0+a\cdot t$ liefert jeden Wert direkt. Bei ganzen Zeitschritten kannst du denselben Vorgang rekursiv beschreiben:
$$N(t+1)=N(t)+a$$
Die rekursive Regel berechnet den nächsten Wert aus dem vorherigen. In einer Tabelle erkennst du Linearität daran, dass bei gleichen $t$-Abständen die Differenzen der Werte gleich sind.
Wann passt das Modell – und wann nicht?
Ein lineares Modell passt nur in einem Bereich, in dem die absolute Änderung näherungsweise konstant bleibt. Ein Baum kann zum Beispiel für eine Rechnung mit einem durchschnittlichen jährlichen Zuwachs modelliert werden. Das bedeutet nicht, dass er in Wirklichkeit über beliebig lange Zeit exakt gleichmäßig wächst.
Prüfe ein Modell deshalb in vier Schritten:
- Sind die Zeit- oder Argumentabstände gleich?
- Sind die absoluten Wertänderungen gleich oder ungefähr gleich?
- Passen Anfangswert, Vorzeichen und Einheiten?
- Ist der betrachtete Zeitraum sinnvoll?
Bei quadratischem Wachstum verändert sich die Änderungsrate; der Graph ist eine Parabel statt einer Geraden. Das ist eine wichtige Abgrenzung, aber noch kein Beweis dafür, welches Modell reale Daten gut beschreibt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lineares Wachstum und lineare Abnahme
- Erkennen: konstante absolute Änderung, Gerade
- Beschreiben: Anfangswert $N_0$, Änderungsrate $a$, Funktion $N(t)=N_0+a\cdot t$
- Berechnen: Zeit einsetzen oder Zielwert vorgeben
- Darstellen: explizite Formel, rekursive Regel, Tabelle und Graph
- Prüfen: Vorzeichen, Einheiten, konstante Rate und Geltungsbereich