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Beim Durchschnitt denkst du oft an Addieren und Teilen. Für Wachstumsfaktoren, Verhältnisse und prozentuale Änderungen passt aber das geometrische Mittel besser.
- Ich kann arithmetisches und geometrisches Mittel unterscheiden.
- Ich kann das geometrische Mittel zweier oder mehrerer positiver Zahlen berechnen.
- Ich kann Wachstumsfaktoren richtig mitteln.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Das geometrische Mittel mittelt Faktoren. Statt zu addieren, multiplizierst du die Werte und ziehst eine passende Wurzel.
Geometrisches Mittel
Für positive Zahlen \(a_1,...,a_n\) ist das geometrische Mittel \(\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}\). Für zwei Zahlen ist es \(\sqrt{ab}\).
Für 4 und 9 ist das geometrische Mittel \(\sqrt{36}=6\).
Bei Wachstumsfaktoren mittelst du geometrisch, nicht arithmetisch.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Wandle Prozente zuerst in Faktoren um. Plus 20 Prozent wird Faktor 1,2; minus 10 Prozent wird Faktor 0,9. Danach geometrisch mitteln.
Ein Wert wächst erst um 20 Prozent und dann um 80 Prozent. Faktoren: 1,2 und 1,8. Mittlerer Faktor: \(\sqrt{1{,}2\cdot1{,}8}=\sqrt{2{,}16}\approx1{,}47\). Das entspricht etwa 47 Prozent pro Schritt.
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
Achte darauf, dass die Werte positiv sein müssen. Für negative oder null Werte ist das geometrische Mittel in der Schule meist nicht sinnvoll definiert.
Das geometrische Mittel liegt bei positiven verschiedenen Zahlen höchstens so hoch wie das arithmetische Mittel.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Das geometrische Mittel ist der passende Durchschnitt für positive Faktoren und Verhältnisse. Es nutzt Produkt und Wurzel statt Summe und Division.