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Geometrisches Mittel: Formel und Anwendung
Das geometrische Mittel ist der passende Mittelwert, wenn positive Werte miteinander multipliziert werden – zum Beispiel Wachstumsfaktoren mehrerer Zeiträume. Du multiplizierst die Werte und ziehst aus dem Produkt die passende Wurzel.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann brauchst du das geometrische Mittel?
Beim arithmetischen Mittel geht es um additive Zusammenhänge: Werte werden addiert und ihre Unterschiede betrachtet. Das geometrische Mittel passt zu multiplikativen Zusammenhängen: Werte oder Faktoren werden miteinander multipliziert und durch Quotienten verglichen.
Geometrisches Mittel
Für $n$ positive Werte $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ist das geometrische Mittel
$$\bar{x}_{\mathrm{geom}}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}.$$
Es ist die $n$-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte.
Der hier behandelte Definitionsbereich umfasst nur positive Werte. Ein Wert von null oder ein negativer Wert erfüllt diese Voraussetzung nicht.
Additive Entwicklung: eher arithmetisches Mittel. Multiplikative Entwicklung: geometrisches Mittel.
Wie berechnest du den Mittelwert?
Gehe in drei Schritten vor:
- Prüfe, ob alle Werte positiv sind.
- Multipliziere alle $n$ Werte.
- Ziehe aus dem Produkt die $n$-te Wurzel.
Gesucht ist das geometrische Mittel von $3$ und $12$.
Es gibt zwei Werte, also brauchst du die Quadratwurzel:
$$\bar{x}_{\mathrm{geom}}=\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6.$$
Die Zahl $6$ liegt multiplikativ genau zwischen $3$ und $12$: Von $3$ zu $6$ und von $6$ zu $12$ ist es jeweils der Faktor $2$.
Für zwei positive Längen hat das Ergebnis außerdem eine anschauliche Bedeutung: Ein Rechteck mit den Seiten $3$ und $12$ besitzt denselben Flächeninhalt wie ein Quadrat mit der Seitenlänge $6$, denn beide Flächen sind $36$ Flächeneinheiten groß.
Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Bei $3$ und $12$ gilt daher:
$$6\leq\frac{3+12}{2}=7{,}5.$$
Wie mittelst du Wachstumsraten?
Prozentsätze werden nicht unmittelbar multipliziert. Wandle jede prozentuale Veränderung $p$ zuerst in einen Wachstumsfaktor um:
$$x=1+\frac{p}{100}.$$
Eine Zunahme um $5\%$ entspricht dem Faktor $1{,}05$. Eine Abnahme um $6\%$ entspricht dem Faktor $0{,}94$. Auch ein Faktor unter $1$ bleibt positiv.
Ein Guthaben wird in drei Jahren nacheinander mit $2\%$, $7\%$ und $5\%$ verzinst. Die Faktoren sind $1{,}02$, $1{,}07$ und $1{,}05$.
Der gesamte Faktor beträgt:
$$1{,}02\cdot1{,}07\cdot1{,}05=1{,}14597.$$
Gesucht ist ein konstanter Jahresfaktor $q$, der nach drei Jahren dieselbe Wirkung hat. Deshalb muss gelten:
$$q^3=1{,}14597.$$
Also:
$$q=\sqrt[3]{1{,}02\cdot1{,}07\cdot1{,}05}\approx1{,}04646.$$
Zurück in Prozent:
$$p=(q-1)\cdot100\%\approx4{,}646\%.$$
Ein gleichbleibender Jahreszins von ungefähr $4{,}646\%$ führt somit zum selben Endwert. Das arithmetische Mittel der drei Zinssätze wäre etwa $4{,}667\%$ und beschreibt die Wiederanlage nicht exakt.
Wie berücksichtigst du Häufigkeiten?
Kommt ein Wert mehrfach vor, kannst du ihn als Potenz schreiben. Für positive Werte $x_i$ mit absoluten Häufigkeiten $H_i$ gilt:
$$\bar{x}_{\mathrm{geom}}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{m}x_i^{H_i}},\qquad n=\sum_{i=1}^{m}H_i.$$
Die Häufigkeit wird zum Exponenten. Die Wurzelordnung ist die Gesamtzahl aller Beobachtungen.
Der Wert $2$ kommt dreimal vor, der Wert $8$ einmal. Insgesamt gibt es vier Beobachtungen:
$$\bar{x}_{\mathrm{geom}}=\sqrt[4]{2^3\cdot8}=\sqrt[4]{64}=2\sqrt{2}\approx2{,}83.$$
Du erhältst dasselbe Ergebnis, wenn du die ausgeschriebene Liste $2,2,2,8$ verwendest.
Bei relativen Häufigkeiten $h_i$, deren Summe $1$ ist, lautet die Formel:
$$\bar{x}_{\mathrm{geom}}=\prod_{i=1}^{m}x_i^{h_i}.$$
Eine zusätzliche Wurzel ist nicht nötig, weil die relativen Häufigkeiten bereits normierte Gewichte sind.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geometrisches Mittel
- Voraussetzung: positive Werte
- Grundidee: multiplikative Mitte
- Rechenweg: Produkt bilden und n-te Wurzel ziehen
- Wachstum: Prozentsätze in Faktoren umwandeln
- Gewichtung: Häufigkeiten als Exponenten einsetzen
- Kontrolle: Ergebnis höchstens so groß wie das arithmetische Mittel
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Entscheidungen begründen kannst, beherrschst du den Kern: positive Faktoren multiplizieren, die passende Wurzel ziehen und das Ergebnis im Sachzusammenhang deuten.