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Arithmetisches Mittel berechnen und verstehen
Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es wird oft auch Durchschnitt oder Mittelwert genannt.
Auf dieser Seite lernst du, den Mittelwert zu berechnen, Häufigkeitstabellen auszuwerten und fehlende Werte zu bestimmen. Außerdem erfährst du, warum Ausreißer das Ergebnis verzerren können.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So berechnest du das arithmetische Mittel
Du brauchst zwei Angaben: die Summe aller Werte und die Anzahl der Werte.
Arithmetisches Mittel
Für die Werte $x_1,x_2,\dots,x_n$ gilt:
$$\bar x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Dabei ist $n$ die Anzahl der Werte. Das Zeichen $\bar x$ wird „x quer“ gesprochen.
Gehe in drei Schritten vor:
- Addiere alle Werte.
- Zähle die Werte.
- Teile die Summe durch die Anzahl.
Fünf Freunde sind $162$, $156$, $172$, $177$ und $151\,\mathrm{cm}$ groß.
Zuerst addierst du die Größen:
$$162+156+172+177+151=818$$
Es sind fünf Werte. Deshalb teilst du durch $5$:
$$\bar x=\frac{818}{5}=163{,}6\,\mathrm{cm}$$
Die Freunde sind im Durchschnitt $163{,}6\,\mathrm{cm}$ groß. Das Ergebnis muss nicht selbst in der Datenreihe vorkommen.
Teile immer durch die Anzahl der Werte, nicht durch den größten Wert und nicht durch die Anzahl verschiedener Werte.
Was der Mittelwert über die Daten aussagt
Der Mittelwert verteilt die Gesamtsumme rechnerisch gleichmäßig auf alle Werte. Deshalb kann er zwischen den Einzelwerten liegen, ohne selbst beobachtet worden zu sein.
Bei zwei Zahlen ist diese Vorstellung besonders anschaulich:
$$m=\frac{a+b}{2}$$
Der Wert $m$ liegt genau in der Mitte zwischen $a$ und $b$. Sein Abstand zu beiden Zahlen ist gleich groß.
Für jede Datenreihe gilt außerdem:
$$\sum x_i=n\bar x$$
In Worten: Gesamtsumme = Anzahl mal Mittelwert.
Die Abweichungen vom Mittelwert gleichen sich aus:
$$\sum(x_i-\bar x)=0$$
Werte unter dem Mittelwert liefern negative Abweichungen, Werte darüber positive. Zusammen ergeben sie null.
Der Mittelwert beschreibt eine rechnerische Mitte. Er sagt allein noch nicht, wie stark die einzelnen Werte auseinanderliegen.
So bestimmst du einen fehlenden Wert
Kennst du den gewünschten Mittelwert und die Anzahl aller Werte, kannst du zuerst die benötigte Gesamtsumme berechnen.
$$\text{benötigte Summe}=n\cdot\bar x$$
Ziehe anschließend die Summe der bekannten Werte ab:
$$x_{\text{fehlend}}=n\bar x-\text{Summe der bekannten Werte}$$
Gegeben sind $2$, $5$, $12$ und $20$. Ein fünfter Wert soll zu einem Mittelwert von $9$ führen.
Für fünf Werte muss die Gesamtsumme betragen:
$$5\cdot9=45$$
Die bekannten Werte ergeben:
$$2+5+12+20=39$$
Damit fehlt:
$$x_{\text{fehlend}}=45-39=6$$
Kontrolle:
$$\frac{2+5+12+20+6}{5}=9$$
Der gesuchte fünfte Wert ist also $6$.
Rechne zuerst mit der neuen Gesamtzahl der Werte. Wenn ein Wert ergänzt wird, steigt die Anzahl um eins.
Mittelwerte aus Häufigkeitstabellen berechnen
In einer Häufigkeitstabelle steht jeder Wert nur einmal. Die absolute Häufigkeit $H(x_i)$ gibt an, wie oft dieser Wert vorkommt.
Damit kein Wert vergessen wird, multiplizierst du jeden Wert mit seiner Häufigkeit. Danach addierst du die Produkte und teilst durch die Gesamtzahl:
$$\bar x=\frac{\sum x_i\cdot H(x_i)}{\sum H(x_i)}$$
Bei $50$ Prüfungen wurden die Noten so oft vergeben:
| Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Häufigkeit | 2 | 9 | 11 | 16 | 12 |
Multipliziere jede Note mit ihrer Häufigkeit:
$$1\cdot2+2\cdot9+3\cdot11+4\cdot16+5\cdot12=177$$
Die Häufigkeiten ergeben zusammen $50$. Daher gilt:
$$\bar x=\frac{177}{50}=3{,}54$$
Die Durchschnittsnote beträgt $3{,}54$.
Bei absoluten Häufigkeiten teilst du durch die Summe der Häufigkeiten. Sie ist die Gesamtzahl aller Beobachtungen.
Wann der Mittelwert täuschen kann
Ein Ausreißer ist ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Werten entfernt liegt. Weil beim arithmetischen Mittel jeder Wert in die Summe eingeht, kann ein sehr großer oder sehr kleiner Ausreißer das Ergebnis stark verschieben.
In einer Altersreihe liegen fast alle Werte zwischen $18$ und $34$ Jahren, zusätzlich kommt der Wert $88$ vor. Das arithmetische Mittel beträgt $28{,}8$ Jahre.
Der einzelne hohe Wert vergrößert die Summe deutlich. Deshalb liegt der Mittelwert höher, als es die meisten Alterswerte zunächst erwarten lassen.
Für eine bewusste Auswahl helfen zwei weitere Kennwerte:
- Der Median ist die Mitte einer geordneten Datenreihe. Er reagiert weniger stark auf einzelne extreme Werte.
- Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
Welcher Kennwert passt, hängt von der Frage ab. Möchtest du alle Werte rechnerisch berücksichtigen, ist das arithmetische Mittel nützlich. Möchtest du bei einem Ausreißer eine typische Mitte beschreiben, kann der Median aussagekräftiger sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Arithmetisches Mittel
- Berechnung: Summe durch Anzahl
- Deutung: rechnerisch gleichmäßige Verteilung der Gesamtsumme
- Umkehrung: Gesamtsumme gleich Anzahl mal Mittelwert
- Fehlender Wert: Zielsumme minus bekannte Summe
- Häufigkeitstabelle: Wert mal Häufigkeit
- Grenze: empfindlich gegenüber Ausreißern
- Vergleich: Median als robustere Mitte bei Ausreißern