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Median berechnen, verstehen und deuten
Der Median oder Zentralwert ist die Mitte einer geordneten Datenreihe. Mindestens die Hälfte der Werte ist nicht größer und mindestens die Hälfte nicht kleiner als der Median. Um ihn zu finden, musst du deshalb zuerst sortieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt der Median?
Stell dir eine geordnete Reihe von sieben Messwerten vor:
1, 3, 3, 5, 7, 8, 10
Der vierte Wert 5 steht genau in der Mitte. Links und rechts davon liegen jeweils drei Beobachtungen. Daher ist 5 der Median.
Median
Der Median ist ein Lagemaß: Er beschreibt die zentrale Lage geordneter Daten über ihre Rangplätze. Wiederholte Werte zählen dabei jeweils als eigene Beobachtung.
Der Median betrachtet also zuerst die Position eines Werts, nicht seinen Abstand zu den anderen Werten.
Ohne Sortieren keine sichere Mitte: Ordne die Daten immer zuerst von klein nach groß.
Wie berechnest du den Median?
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Sortiere alle Werte aufsteigend.
- Zähle die Werte. Ihre Anzahl heißt $n$.
- Entscheide, ob $n$ ungerade oder gerade ist.
- Lies den mittleren Wert ab oder berechne den Mittelwert der beiden mittleren Werte.
- Prüfe, ob das Ergebnis die Rangmitte der geordneten Reihe beschreibt.
Ungerade Anzahl
Bei ungeradem $n$ gibt es genau eine mittlere Position:
$$\frac{n+1}{2}$$
Gegeben ist die Reihe 4, 9, 8, 7, 12, 4, 16, 1, 2.
Zuerst sortierst du:
1, 2, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 16
Es gibt $n=9$ Werte. Die mittlere Position ist $(9+1):2=5$. An der fünften Stelle steht 7. Der Median ist also 7.
Gerade Anzahl
Bei geradem $n$ gibt es zwei mittlere Positionen: $n/2$ und $n/2+1$. Für Zahlenwerte wird schulüblich ihr arithmetisches Mittel verwendet:
$$\tilde{x}=\frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}$$
Gegeben ist die Reihe 5, 12, 29, 17, 12, 8, 10, 8.
Sortiert lautet sie:
5, 8, 8, 10, 12, 12, 17, 29
Es gibt $n=8$ Werte. In der Mitte stehen der vierte Wert 10 und der fünfte Wert 12.
$$\tilde{x}=\frac{10+12}{2}=11$$
Der Median ist 11. Er muss nicht selbst in der Datenreihe vorkommen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Um den Median zu bestimmen, musst du die Werte zuerst . Bei einer Anzahl gibt es genau einen mittleren Wert. Bei einer geraden Anzahl verwendest du schulüblich die Werte. Aus 5 und 7 erhältst du den Median .
Warum ist der Median bei Ausreißern nützlich?
Ein Ausreißer ist ein Wert, der weit von den übrigen Werten entfernt liegt. Betrachte die geordnete Reihe:
4, 9, 13, 14, 16, 17, 19, 21, 1490
Der fünfte Wert ist 16. Also ist der Median 16. Der sehr große Wert 1490 liegt am Rand und verändert die mittlere Rangposition nicht.
Das arithmetische Mittel reagiert anders: Für den Mittelwert werden alle Werte addiert. Deshalb kann ein einzelner extremer Wert das Ergebnis stark verschieben.
Robust bedeutet nicht, dass der Median sich niemals ändert. Es bedeutet: Einzelne extreme Randwerte beeinflussen ihn meist deutlich weniger als den Mittelwert. Ändert sich die Reihenfolge in der Mitte, kann sich auch der Median ändern.
Welches Lagemaß passt?
Median, Mittelwert und Modus beantworten verschiedene Fragen.
| Lagemaß | Leitfrage | Voraussetzung |
|---|---|---|
| Median | Welcher Wert liegt in der Rangmitte? | Die Daten besitzen eine natürliche Ordnung. |
| Arithmetisches Mittel | Welcher rechnerische Durchschnitt entsteht aus allen Werten? | Zahlenabstände müssen sinnvoll interpretierbar sein. |
| Modus | Welcher Wert oder welche Ausprägung kommt am häufigsten vor? | Häufigkeiten müssen vergleichbar sein. |
Für T-Shirt-Farben wie blau, rot und grün kannst du einen Modus bestimmen. Einen Median gibt es nicht, weil Farben keine natürliche Reihenfolge besitzen.
Geordnete Stufen wie Schulnoten oder „stimme zu“ bis „stimme nicht zu“ besitzen dagegen eine Rangfolge. Deshalb lässt sich ihre Mitte bestimmen. Bei bloß geordneten Kategorien darfst du die Kategorien aber nicht einfach arithmetisch mitteln, weil ihre Abstände nicht festgelegt sind.
Vertiefung: Zwei mittlere Werte
Bei einer geraden Anzahl von Zahlenwerten ist der Durchschnitt der beiden mittleren Werte die schulübliche Konvention. Nach der allgemeinen Medianbedingung erfüllt auch jeder Wert zwischen diesen beiden mittleren Werten die Halbierungsbedingung. Man kann außerdem den kleineren Wert als Untermedian und den größeren als Obermedian angeben.
Üben und Fehler erkennen
Bestimme den Median der Reihe:
7, 3, 15, 9, 2, 3, 1, 1
Sortiert lautet die Reihe:
1, 1, 2, 3, 3, 7, 9, 15
Es gibt acht Werte. In der Mitte stehen der vierte und der fünfte Wert: 3 und 3.
$$(3+3):2=3$$
Der Median ist 3.
Typische Fehler kannst du mit drei Fragen vermeiden:
- Sortiert? Sonst liest du möglicherweise die falsche Position ab.
- Gerade oder ungerade Anzahl? Davon hängt die Zahl der mittleren Werte ab.
- Richtigen Listenwert abgelesen? Eine Positionsnummer ist noch nicht der Datenwert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Median
- Vorbereitung: Daten ordnen und Anzahl bestimmen
- Ungerade Anzahl: einen mittleren Wert ablesen
- Gerade Anzahl: zwei mittlere Zahlenwerte mitteln
- Bedeutung: Rangmitte der Daten
- Stärke: robust gegenüber extremen Randwerten
- Grenze: keine Anwendung ohne natürliche Ordnung
- Vergleich: Modus zählt Häufigkeit, Mittelwert nutzt alle Zahlenwerte