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Quartile berechnen: Q1, Median und Q3
Quartile sind drei Grenzwerte einer sortierten Datenreihe: Das untere Quartil $Q_1$, der Median $Q_2$ und das obere Quartil $Q_3$ teilen die Rangliste in vier annähernd gleich große Bereiche.
Auf dieser Seite verwendest du ein festes Rangplatzverfahren. Andere Lehrbücher oder Programme können Quartile nach einer anderen Konvention berechnen und deshalb bei manchen Datensätzen zu anderen Ergebnissen kommen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeuten die drei Quartile?
Stell dir die sortierten Daten als Weg vom kleinsten zum größten Wert vor. Drei Quartile markieren die Übergänge zwischen vier Abschnitten.
Quartile
- $Q_1$ heißt unteres Quartil und liegt an der 25-%-Grenze.
- $Q_2$ heißt mittleres Quartil und ist der Median.
- $Q_3$ heißt oberes Quartil und liegt an der 75-%-Grenze.
Die Prozentangaben beschreiben Ranggrenzen. Bei wenigen Daten oder mehrfach vorkommenden Werten müssen deshalb nicht genau 25 % der Werte strikt kleiner als $Q_1$ sein.
Drei Quartile erzeugen vier Bereiche. Ein „viertes Quartil“ als weitere innere Grenze gibt es nicht.
Wie berechnest du Quartile mit Rangplätzen?
Sortiere zuerst alle $n$ Datenwerte aufsteigend. Berechne dann für jedes Quartil den Ausgangsrang $r$:
$$Q_1: r=n\cdot\frac14$$
$$Q_2: r=n\cdot\frac24$$
$$Q_3: r=n\cdot\frac34$$
Danach unterscheidest du zwei Fälle:
- $r$ ist nicht ganzzahlig: Gehe zum nächsthöheren ganzen Rang. Der dort stehende Datenwert ist das Quartil.
- $r$ ist ganzzahlig: Bilde den Mittelwert aus den Werten auf Rang $r$ und Rang $r+1$.
Gegeben ist die bereits sortierte Rangliste der Schuhgrößen:
$38, 39, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 45$
Es gibt $n=10$ Werte.
Für $Q_1$ gilt $10\cdot\frac14=2{,}5$. Das Ergebnis ist nicht ganzzahlig, also nimmst du Rang 3: $Q_1=41$.
Für $Q_2$ gilt $10\cdot\frac24=5$. Das Ergebnis ist ganzzahlig, also mittelst du Rang 5 und 6:
$$Q_2=\frac{41+42}{2}=41{,}5$$
Für $Q_3$ gilt $10\cdot\frac34=7{,}5$. Du gehst zu Rang 8: $Q_3=43$.
Kannst du das Verfahren selbst anwenden?
Gegeben ist die sortierte Datenreihe:
$1, 3, 7, 8, 8, 10, 11, 12, 15$
Sie enthält $n=9$ Werte.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Vor der Quartilberechnung müssen die Daten sein. Für das obere Quartil berechnest du . Hier ist $9\cdot\frac34=6{,}75$ also . Deshalb verwendest du den .
Was verrät der Quartilabstand?
Der Quartilabstand beschreibt, wie weit der mittlere Bereich der Daten reicht.
Quartilabstand
Der Quartilabstand ist die Differenz aus oberem und unterem Quartil:
$$Q_3-Q_1$$
Für die Datenreihe aus dem vorherigen Kapitel gilt:
$$Q_3-Q_1=11-7=4$$
Die mittleren Bereiche der Rangliste erstrecken sich also über eine Breite von 4 Einheiten. Ein größerer Quartilabstand bedeutet bei vergleichbaren Datensätzen, dass die mittleren Daten stärker gestreut sind.
Quartile gehören außerdem zu den fünf Kennwerten eines einfachen Boxplots:
- Minimum
- $Q_1$
- Median $Q_2$
- $Q_3$
- Maximum
Minimum und Maximum beschreiben die gesamte Spannweite. Der Quartilabstand betrachtet dagegen den Bereich zwischen $Q_1$ und $Q_3$ und richtet den Blick damit auf den mittleren Teil der sortierten Daten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quartile einer sortierten Datenreihe
- Bedeutung
- $Q_1$: unteres Quartil
- $Q_2$: Median
- $Q_3$: oberes Quartil
- Berechnung
- $r=n\cdot p$ bestimmen
- nicht ganzzahlig: nächsthöherer Rang
- ganzzahlig: zwei benachbarte Werte mitteln
- Auswertung
- Quartilabstand: $Q_3-Q_1$
- Boxplot: fünf Kennwerte darstellen
- Bedeutung