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Streuung: Spannweite, Varianz und Standardabweichung
Die Streuung zeigt dir, wie eng oder weit Datenwerte verteilt sind. Zwei Datensätze können denselben Mittelwert besitzen und trotzdem sehr unterschiedlich streuen. Streumaße machen diesen Unterschied als Zahl sichtbar.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum der Mittelwert nicht ausreicht
Vergleiche die beiden Datenreihen:
- Reihe A: $10, 20, 30$
- Reihe B: $19, 20, 21$
Beide Reihen haben den Mittelwert $20$. In Reihe A liegen die äußeren Werte jedoch jeweils $10$ vom Mittelwert entfernt. In Reihe B beträgt dieser Abstand nur $1$. Reihe A streut daher stärker.
Streuung
Die Streuung beschreibt, wie weit die Werte eines Datensatzes um ein Zentrum verteilt sind. Als Zentrum wird häufig der arithmetische Mittelwert verwendet.
Die Abweichung eines Wertes $x_i$ vom Mittelwert $\bar x$ lautet:
$$x_i-\bar x$$
Eine einfache Addition dieser Abweichungen ist kein Streumaß. Sie ergibt immer $0$, weil sich positive und negative Abweichungen ausgleichen:
$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)=0$$
Deshalb verwenden Streumaße beispielsweise Beträge oder Quadrate der Abweichungen.
Der Mittelwert beschreibt die Mitte. Ein Streumaß beschreibt, wie weit die Werte von dieser Mitte oder voneinander entfernt liegen.
Die Spannweite zeigt den gesamten Streubereich
Die Spannweite ist das einfachste Streumaß. Du ziehst den kleinsten Wert vom größten Wert ab:
$$R=x_{\max}-x_{\min}$$
Eine Messreihe reicht von $11{,}8\,\mathrm{cm}$ bis $34{,}3\,\mathrm{cm}$.
$$R=34{,}3\,\mathrm{cm}-11{,}8\,\mathrm{cm}=22{,}5\,\mathrm{cm}$$
Die Werte erstrecken sich somit über einen Bereich von $22{,}5\,\mathrm{cm}$.
Die Spannweite ist schnell berechnet, verwendet aber nur Minimum und Maximum. Ein einzelner ungewöhnlich großer oder kleiner Wert kann sie stark verändern. Solch ein weit von den übrigen Werten entfernter Wert heißt Ausreißer.
Die Reihe $19,20,21$ hat die Spannweite $21-19=2$. Ersetzt du $21$ durch den Ausreißer $100$, steigt die Spannweite auf $100-19=81$.
Varianz und Standardabweichung nutzen alle Werte
Die Spannweite betrachtet nur zwei Werte. Varianz und Standardabweichung berücksichtigen dagegen die Abweichung jedes Wertes vom Mittelwert.
Für eine vollständig beschriebene Datenreihe gehst du so vor:
- Berechne den Mittelwert $\bar x$.
- Bestimme jede Abweichung $x_i-\bar x$.
- Quadriere die Abweichungen, damit sie nicht negativ sind.
- Addiere die Quadrate und teile durch die Anzahl $n$ der Werte. Das ergibt die Varianz.
- Ziehe aus der Varianz die Quadratwurzel. Das ergibt die Standardabweichung.
Varianz
Die deskriptive Varianz $s^2$ ist die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2$$
Standardabweichung
Die Standardabweichung $s$ ist die positive Quadratwurzel der Varianz:
$$s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}$$
Für die Reihe $10,20,30$ ist der Mittelwert $20$.
Die Abweichungen sind $-10$, $0$ und $10$. Nach dem Quadrieren erhältst du $100$, $0$ und $100$.
$$s^2=\frac{100+0+100}{3}=\frac{200}{3}\approx66{,}67$$
$$s=\sqrt{\frac{200}{3}}\approx8{,}16$$
Für die Reihe $19,20,21$ ergibt sich dagegen:
$$s^2=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}\approx0{,}67$$
$$s=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0{,}82$$
Die deutlich größere Standardabweichung bestätigt, dass die erste Reihe stärker streut.
Die Varianz hat die quadrierte Einheit der Daten. Bei Längen in Zentimetern lautet ihre Einheit also $\mathrm{cm}^2$. Die Standardabweichung besitzt wieder die ursprüngliche Einheit $\mathrm{cm}$ und lässt sich deshalb meist leichter im Sachzusammenhang deuten.
Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die Werte um ihren Mittelwert. Ist sie $0$, sind alle Werte gleich.
Welches Streumaß passt zur Frage?
Kein Streumaß ist für jede Situation gleich gut geeignet.
- Die Spannweite liefert einen schnellen Überblick, reagiert aber stark auf Ausreißer.
- Die Standardabweichung berücksichtigt alle Werte, reagiert wegen der Quadrate jedoch ebenfalls deutlich auf Ausreißer.
- Der Interquartilsabstand betrachtet die mittleren $50\,\%$ der sortierten Daten und ist gegenüber einzelnen Extremwerten weniger empfindlich.
- Der Variationskoeffizient vergleicht die Streuung von Datenreihen mit unterschiedlichen Größenordnungen.
Der Interquartilsabstand ist die Differenz zwischen dem oberen Quartil $Q_3$ und dem unteren Quartil $Q_1$:
$$IQR=Q_3-Q_1$$
Quartile teilen sortierte Daten in vier Bereiche. Wie einzelne Quartile bei bestimmten Anzahlen von Werten bestimmt werden, kann von der verwendeten Konvention abhängen. Für einen Vergleich musst du daher bei allen Datensätzen dieselbe Methode verwenden.
Relative Streuung vergleichen
Absolute Streumaße besitzen eine Einheit. Für Vergleiche unterschiedlicher Größenordnungen kann der dimensionslose Variationskoeffizient sinnvoll sein:
$$V=\frac{s}{\bar x}\cdot100\,\%$$
Dabei muss der Mittelwert positiv und als Bezugsgröße sinnvoll sein.
Zwei Messreihen haben jeweils eine Standardabweichung von $1\,\mu\mathrm{m}$.
- Bei $\bar x=10\,\mu\mathrm{m}$ gilt $V=10\,\%$.
- Bei $\bar x=100\,\mu\mathrm{m}$ gilt $V=1\,\%$.
Die absolute Streuung ist gleich. Im Verhältnis zum jeweiligen Mittelwert streut die erste Reihe aber zehnmal so stark.
Vertiefung: Warum steht manchmal $n-1$ in der Formel?
Beschreibst du nur die vorliegenden Daten, wird die Varianz durch $n$ geteilt. Soll eine unabhängige Stichprobe zur Schätzung der Varianz einer größeren Grundgesamtheit dienen, wird häufig durch $n-1$ geteilt:
$$s_k^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2$$
Darum können Taschenrechner oder Programme für dieselben Daten unterschiedliche Ergebnisse anzeigen. Prüfe immer die verwendete Formel; das Symbol allein verrät den Divisor nicht zuverlässig.
Streuung selbst berechnen und beurteilen
Gegeben ist die Datenreihe $2,4,4,6$.
- Berechne Mittelwert, Spannweite, Varianz und Standardabweichung mit dem Divisor $n$.
- Ergänze den Wert $20$. Entscheide ohne vollständige Neuberechnung, welche Kennzahlen deutlich steigen werden.
- Begründe, warum die Spannweite und die Standardabweichung hier unterschiedlich viel Information verwenden.
Lösung zu 1:
Der Mittelwert ist
$$\bar x=\frac{2+4+4+6}{4}=4$$
Die Spannweite beträgt
$$R=6-2=4$$
Die quadrierten Abweichungen sind $4,0,0,4$. Damit gilt:
$$s^2=\frac{4+0+0+4}{4}=2$$
$$s=\sqrt{2}\approx1{,}41$$
Lösung zu 2: Der Wert $20$ wird zum neuen Maximum und liegt weit von den übrigen Werten entfernt. Spannweite, Varianz und Standardabweichung steigen deutlich. Auch der Mittelwert verändert sich.
Lösung zu 3: Die Spannweite verwendet nur Minimum und Maximum. Die Standardabweichung bezieht jeden Wert und seinen Abstand vom Mittelwert ein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Streuung
- Grundidee
- ergänzt den Mittelwert
- misst Abstände und Variabilität
- Absolute Streumaße
- Spannweite: nur Extremwerte
- Varianz: quadrierte Einheit
- Standardabweichung: ursprüngliche Einheit
- Interquartilsabstand: mittlere Hälfte
- Relative Streuung
- Variationskoeffizient
- Vergleich verschiedener Größenordnungen
- Auswahl
- Ausreißer beachten
- Zweck und Formel prüfen
- Grundidee
Abschluss-Check
Du kannst Streuung nun als Ergänzung zur Mitte deuten, wichtige Streumaße berechnen und ihre Aussagekraft passend zur Datenfrage beurteilen.