Mit Google fortfahren
Standardabweichung berechnen und richtig deuten
Die Standardabweichung misst, wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen. Ein kleiner Wert bedeutet: Die Daten liegen eng beieinander. Ein großer Wert bedeutet: Die Daten sind weit verteilt. Sind alle Werte gleich, ist die Standardabweichung $0$.
Auf dieser Seite lernst du, die Standardabweichung einer vollständigen Datenmenge und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu berechnen, in der richtigen Einheit anzugeben und sinnvoll zu vergleichen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst die Standardabweichung?
Zwei Datenreihen können denselben Mittelwert haben und trotzdem ganz verschieden aussehen. Liegen die Werte dicht am Mittelwert, ist ihre Streuung gering. Liegen sie weit auseinander, ist ihre Streuung groß.
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß. Sie entsteht, indem du die Abweichungen der Werte vom Mittelwert quadrierst, daraus den Mittelwert bildest und anschließend die Quadratwurzel ziehst.
Warum werden die Abweichungen quadriert? Die Abweichungen oberhalb und unterhalb des Mittelwerts haben verschiedene Vorzeichen. Ohne Quadrieren würden sie sich gegenseitig aufheben. Durch das Quadrieren werden alle Beiträge nicht negativ und große Abstände zählen stärker.
Die Standardabweichung bezieht sich auf den Mittelwert, nicht auf den Median. Sie hat dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten. Die Varianz hat dagegen die quadrierte Einheit.
Eine Standardabweichung ist nicht für sich allein „klein“ oder „groß“. Du musst sie im Zusammenhang mit der Größe der Werte und ihrem möglichen Wertebereich beurteilen.
So berechnest du die Standardabweichung
Für eine vollständig erfasste Datenmenge mit $n$ Werten verwendest du den Mittelwert $\bar{x}$ und berechnest:
$$\operatorname{Var}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$
$$\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}}$$
Dabei ist $x_i$ ein einzelner Wert, $\Sigma$ das Summenzeichen und $\sigma$ das Formelzeichen der Standardabweichung. Verwechsle also das große $\Sigma$ nicht mit dem kleinen $\sigma$.
Gehe in sechs Schritten vor:
- Berechne den Mittelwert $\bar{x}$.
- Bilde für jeden Wert die Abweichung $x_i-\bar{x}$.
- Quadriere jede Abweichung.
- Addiere die Quadrate.
- Teile bei der vollständigen Datenmenge durch $n$. Das Ergebnis ist die Varianz.
- Ziehe die Quadratwurzel. Das Ergebnis ist die Standardabweichung.
Das einfache Mittel der vorzeichenbehafteten Abweichungen wäre immer $0$. Die Standardabweichung ist deshalb nicht der gewöhnliche Durchschnitt der Abstände, sondern die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst berechnest du den . Dann werden die Abweichungen . Der Mittelwert dieser Quadrate heißt . Aus ihm ziehst du die .
Ein vollständiges Beispiel mit Wegzeiten
Katrin misst ihre Wegzeit an fünf Tagen:
$17, 12, 15, 12, 14$ Minuten.
1. Mittelwert:
$$\bar{x}=\frac{17+12+15+12+14}{5}=14\text{ Minuten}$$
2. Abweichungen und Quadrate:
| Wegzeit | Abweichung von $14$ | Quadrat |
|---|---|---|
| $17$ | $3$ | $9$ |
| $12$ | $-2$ | $4$ |
| $15$ | $1$ | $1$ |
| $12$ | $-2$ | $4$ |
| $14$ | $0$ | $0$ |
3. Varianz:
$$\operatorname{Var}=\frac{9+4+1+4+0}{5}=3{,}6\text{ Minuten}^2$$
4. Standardabweichung:
$$\sigma=\sqrt{3{,}6}\approx1{,}9\text{ Minuten}$$
Die Wegzeiten streuen mit einer Standardabweichung von etwa $1{,}9$ Minuten um den Mittelwert von $14$ Minuten. Die Einheit Minuten macht das Ergebnis direkt mit den Wegzeiten vergleichbar.
Prüfe am Ende immer drei Dinge: Passt die Einheit? Ist das Ergebnis nicht negativ? Ist die Deutung auf Mittelwert und Streuung bezogen?
Standardabweichung bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einer diskreten Zufallsvariable kommen mögliche Werte $x_i$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_i$ vor. Der Bezugspunkt ist dann der Erwartungswert $\mu=E(X)$.
$$\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2p_i$$
$$\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$$
Die Wahrscheinlichkeit wirkt wie ein Gewicht: Ein möglicher Wert trägt umso stärker zur Varianz bei, je wahrscheinlicher er ist und je weiter er vom Erwartungswert entfernt liegt.
Gegeben ist die Verteilung:
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $6$ |
|---|---|---|---|
| $p_i$ | $0{,}5$ | $0{,}4$ | $0{,}1$ |
Der Erwartungswert ist $\mu=1$. Damit gilt:
$$\operatorname{Var}(X)=(0-1)^2\cdot0{,}5+(1-1)^2\cdot0{,}4+(6-1)^2\cdot0{,}1=3$$
$$\sigma=\sqrt{3}\approx1{,}73$$
Obwohl der Wert $6$ nur die Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ hat, wirkt er wegen seines großen Abstands zum Erwartungswert deutlich auf die Streuung.
Zum Vergleich hat die Verteilung mit den Werten $0{,}5$, $1$ und $1{,}5$ sowie den Wahrscheinlichkeiten $0{,}4$, $0{,}2$ und $0{,}4$ ebenfalls den Erwartungswert $1$. Ihre Varianz beträgt aber nur $0{,}2$ und ihre Standardabweichung ungefähr $0{,}45$. Die Werte liegen enger um $1$.
Grundgesamtheit oder Stichprobe?
Die Division durch $n$ passt, wenn du die vollständig vorliegende Datenmenge beschreibst. Möchtest du dagegen aus einer Stichprobe die Streuung einer größeren Grundgesamtheit schätzen, wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch $n-1$ geteilt:
$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$
Das Formelzeichen $s$ kennzeichnet hier die aus einer Stichprobe berechnete Standardabweichung zur Schätzung der Populationsstreuung.
Frage vor dem Einsetzen: Beschreibe ich alle interessierenden Werte oder schätze ich mit einer Stichprobe eine größere Grundgesamtheit? Vollständige Datenmenge: durch $n$. Stichprobenschätzung: durch $n-1$.
Eine korrekt berechnete Standardabweichung macht eine schlecht geplante Stichprobe nicht automatisch aussagekräftig. Wenn bestimmte Gruppen fehlen oder die Auswahl verzerrt ist, kann auch die Schätzung verzerrt sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Standardabweichung
- Bedeutung: Streuung um Mittelwert oder Erwartungswert
- Rechenweg: Abweichungen quadrieren, mitteln oder gewichten, Wurzel ziehen
- Zusammenhang: Standardabweichung ist Wurzel der Varianz
- Einheit: wie die Ausgangsdaten
- Vergleich: größerer Wert bedeutet stärkere Streuung im passenden Kontext
- Datenlage: Grundgesamtheit durch $n$, Stichprobenschätzung durch $n-1$
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern, wenn du vor jeder Rechnung den Bezugspunkt und die Datenlage klärst, Varianz und Standardabweichung sauber unterscheidest und das Ergebnis mit Einheit im Sachzusammenhang deutest.