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Der Erwartungswert beschreibt, welchen durchschnittlichen Wert du bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten würdest. Danach kannst du faire Spiele beurteilen und Zufallsgrößen auswerten.
- Ich kann Zufallsgröße und Erwartungswert unterscheiden.
- Ich kann den Erwartungswert mit Wert mal Wahrscheinlichkeit berechnen.
- Ich kann den Erwartungswert in Sachaufgaben deuten.
- Ich kann erkennen, ob ein Spiel fair ist.
Durchschnitt auf lange Sicht
Der Erwartungswert ist kein versprochenes Ergebnis für einen einzelnen Versuch. Er ist ein langfristiger Mittelwert.
Erwartungswert
Für eine Zufallsgröße \(X\) mit Werten \(x_i\) und Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x_i)\) gilt:
Du multiplizierst jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles.
Ein fairer Würfel hat die Werte 1 bis 6. Alle haben Wahrscheinlichkeit \(\frac16\).
\(E(X)=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16\). \(E(X)=\frac{21}{6}=3{,}5\).
Du würfelst nie 3,5, aber langfristig liegt der Durchschnitt dort.
Erwartungswert bedeutet langfristiger Durchschnitt, nicht häufigstes Einzel-Ergebnis.
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Erwartungswert aus einer Tabelle
Tabellen machen die Rechnung übersichtlich: Wert mal Wahrscheinlichkeit, dann addieren.
Bei einem Spiel bekommst du 10 Euro mit Wahrscheinlichkeit 0,2 und 0 Euro mit Wahrscheinlichkeit 0,8.
\(E=10\cdot0{,}2+0\cdot0{,}8=2\). Der erwartete Gewinn vor Einsatz beträgt 2 Euro. Wenn der Einsatz 3 Euro kostet, ist der erwartete Nettogewinn \(2-3=-1\) Euro.
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Faire Spiele
Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Nettogewinn 0 ist. Dann hat langfristig niemand einen Vorteil.
Du zahlst 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit \(\frac14\) bekommst du 8 Euro ausgezahlt, sonst 0 Euro.
Erwartete Auszahlung: \(8\cdot\frac14+0\cdot\frac34=2\) Euro. Nettogewinn: \(2-2=0\) Euro. Das Spiel ist fair.
Prüfungsmodus
Achte auf Auszahlung und Gewinn. Wenn ein Einsatz bezahlt wird, musst du ihn abziehen, wenn nach Gewinn gefragt ist.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt einer Zufallsgröße. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles addierst. In Spielen musst du zwischen Auszahlung und Nettogewinn unterscheiden.