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Erwartungswert berechnen und richtig deuten
Der Erwartungswert beschreibt den theoretischen Durchschnitt einer Zufallsgröße bei sehr vielen Wiederholungen. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alle Produkte addierst. Er ist keine Vorhersage für einen einzelnen Versuch.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von möglichen Ergebnissen zur Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Beim Würfeln kann $X$ beispielsweise die geworfene Augenzahl sein. Bei einem Glücksspiel kann $X$ den Nettogewinn in Euro angeben.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt alle möglichen Werte $x_i$ einer Zufallsgröße und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_i)$. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen $1$ beziehungsweise $100\,\%$.
Bei einem gleichmäßigen sechsseitigen Würfel kann $X$ die Werte 1 bis 6 annehmen. Jeder Wert hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
So berechnest du den Erwartungswert
Für eine diskrete Zufallsgröße gilt:
$$E(X)=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i)$$
Der Erwartungswert ist also ein gewichtetes arithmetisches Mittel: Werte mit größerer Wahrscheinlichkeit zählen stärker.
Gehe in drei Schritten vor:
- Notiere alle möglichen Werte $x_i$.
- Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
- Addiere alle Produkte.
Ein gleichmäßiger Würfel zeigt die Zahlen 1 bis 6 jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
$$E(X)=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}$$
Da alle Wahrscheinlichkeiten gleich sind, kann man zusammenfassen:
$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5$$
Langfristig beträgt die durchschnittliche Augenzahl $3{,}5$. Dieser Wert kann bei einem einzelnen Wurf nicht fallen.
Multipliziere zuerst Wert und Wahrscheinlichkeit. Addiere anschließend die gewichteten Werte.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Erwartungswert wird jeder mögliche Wert mit seiner . Anschließend werden die Produkte .
Was der Erwartungswert wirklich aussagt
Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen theoretischen Durchschnitt. Das arithmetische Mittel aus tatsächlich beobachteten Versuchen kann davon abweichen.
Beim Zufallsgenerator mit den gleich wahrscheinlichen Werten 0 und 1 ist $E(X)=0{,}5$:
- Nach den fünf Ergebnissen 0, 1, 0, 0, 1 beträgt das beobachtete Mittel $\frac{2}{5}=0{,}4$.
- Bei elf Nullen und neun Einsen beträgt es nach 20 Durchgängen $\frac{9}{20}=0{,}45$.
Beide beobachteten Mittel weichen vom Erwartungswert ab. Bei vielen Wiederholungen nähert sich das beobachtete Mittel typischerweise dem Erwartungswert an. Einzelne Versuchsreihen können trotzdem schwanken.
Der Erwartungswert muss kein möglicher Einzelwert sein. Beim Würfel sind nur 1 bis 6 möglich, obwohl der Erwartungswert $3{,}5$ beträgt.
Mit dem Erwartungswert faire Spiele prüfen
Bei einem Glücksspiel musst du zuerst die Perspektive festlegen. Aus Sicht des Spielers ist eine passende Zufallsgröße:
$$\text{Nettogewinn}=\text{Auszahlung}-\text{Einsatz}$$
Dann gilt langfristig:
- $E(X)<0$: Der Spieler verliert im Durchschnitt.
- $E(X)=0$: Das Spiel ist fair.
- $E(X)>0$: Der Spieler gewinnt im Durchschnitt.
Ein Dreh kostet 2 €. Die möglichen Auszahlungen sind:
| Auszahlung | Wahrscheinlichkeit | Beitrag zum erwarteten Auszahlungswert |
|---|---|---|
| 5 € | $\frac{2}{10}$ | 1 € |
| 3 € | $\frac{3}{10}$ | 0,90 € |
| 0 € | $\frac{5}{10}$ | 0 € |
Der erwartete Auszahlungswert ist $1{,}90$ €. Davon wird der Einsatz abgezogen:
$$E(X)=1{,}90\,\text{€}-2{,}00\,\text{€}=-0{,}10\,\text{€}$$
Der Spieler verliert langfristig durchschnittlich 0,10 € je Spiel. Das Spiel ist daher nicht fair.
Baue den Einsatz entweder in jeden möglichen Nettogewinn ein oder ziehe ihn einmal vom erwarteten Auszahlungswert ab. Vermische beide Verfahren nicht, sonst berücksichtigst du den Einsatz doppelt.
Vertiefung: Warum der Erwartungswert nicht das Risiko zeigt
Zwei Spiele können denselben Erwartungswert besitzen, obwohl ihre Einzelergebnisse unterschiedlich stark schwanken. Die Standardabweichung misst, wie stark die möglichen Werte um den Erwartungswert streuen.
Bei einem Würfelspiel erhältst du bei 1 oder 4 jeweils 5 €. Bei 2, 3, 5 oder 6 zahlst du 2 €. Für den Nettogewinn $X$ gilt:
| $X$ | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 5 € | $\frac{1}{3}$ |
| $-2$ € | $\frac{2}{3}$ |
Der Erwartungswert ist:
$$E(X)=5\cdot\frac{1}{3}+(-2)\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\,\text{€}\approx0{,}33\,\text{€}$$
Langfristig ist der Erwartungswert positiv. Die Standardabweichung beträgt jedoch ungefähr 3,3 €. Die Ergebnisse streuen damit stark im Vergleich zum kleinen erwarteten Gewinn. Ein positiver Erwartungswert garantiert also keinen Gewinn in einem einzelnen Spiel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Erwartungswert
- Grundlage: Werte und Wahrscheinlichkeiten
- Rechnung: Produkte bilden und addieren
- Bedeutung: langfristiger theoretischer Durchschnitt
- Abgrenzung: kein garantiertes Einzelergebnis
- Glücksspiel: Nettogewinn und Fairness
- Ergänzung: Standardabweichung beschreibt Streuung
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder neuen Aufgabe zum Schluss: Sind alle möglichen Werte erfasst, ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1, stimmt die Einheit und passt deine Deutung zur gewählten Zufallsgröße?