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Zufallsvariable: Ergebnisse in Zahlen übersetzen
Eine Zufallsvariable ordnet jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eindeutig einen Wert zu. Zufällig ist dabei das eintretende Ergebnis – die Zuordnung selbst steht vorher fest.
Auf dieser Seite lernst du, eine Zufallsvariable zu definieren, ihre Verteilung aufzustellen und einfache Kenngrößen zu deuten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Zufallsvariable?
Beim Würfeln fällt beispielsweise eine 4. Die 4 als Würfelergebnis und eine Größe, die du aus diesem Ergebnis berechnest, sind nicht automatisch dasselbe.
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist eine festgelegte Funktion, die jedem Ergebnis $\omega$ aus dem Ergebnisraum $\Omega$ genau einen Wert zuordnet:
$$X:\Omega\to\mathbb{R}$$
$X$ bezeichnet die Zuordnung. Der konkrete Wert $X(\omega)=x$ heißt Realisierung der Zufallsvariable.
Großbuchstaben wie $X$ oder $Y$ stehen gewöhnlich für Zufallsvariablen. Kleinbuchstaben wie $x$ oder $y$ bezeichnen mögliche Werte.
Die Schreibweise $X=1$ meint das Ereignis „Alle Ergebnisse, denen $X$ den Wert 1 zuordnet“. Sie bedeutet nicht, dass die Funktion $X$ immer gleich 1 ist.
Das Experiment liefert ein Ergebnis $\omega$. Erst die festgelegte Zuordnung macht daraus den Wert $X(\omega)$.
Wie legst du eine Zufallsvariable fest?
Gehe in drei Schritten vor:
- Bestimme den Ergebnisraum $\Omega$.
- Entscheide, welche Größe dich interessiert.
- Ordne jedem Ergebnis den passenden Wert zu.
Du wirfst zwei faire Würfel. Ein Ergebnis ist ein geordnetes Paar wie $(2,5)$.
Der Ergebnisraum enthält 36 Paare:
$$\Omega=\{(1,1),(1,2),\ldots,(6,6)\}$$
Interessiert dich die Augensumme, definierst du
$$S(n_1,n_2)=n_1+n_2.$$
Für das Ergebnis $(2,5)$ gilt daher $S(2,5)=7$.
Auf demselben Ergebnisraum kannst du eine andere Zufallsvariable festlegen, etwa die erste Augenzahl:
$$X_1(n_1,n_2)=n_1.$$
Dann ist $X_1(2,5)=2$. Dasselbe Zufallsexperiment kann also verschiedene Fragen beantworten.
Wie entsteht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Mehrere Ergebnisse können zum selben Wert führen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung fasst zusammen, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind.
Für eine diskrete Zufallsvariable gilt:
$$p(x)=P(X=x).$$
Alle Einzelwahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und ergeben zusammen 1.
Eine faire Münze wird zweimal geworfen. $K$ steht für Kopf, $Z$ für Zahl. Die Zufallsvariable $X$ zählt, wie oft Zahl erscheint.
| Ergebnis $\omega$ | $X(\omega)$ |
|---|---|
| $(K,K)$ | 0 |
| $(K,Z)$ | 1 |
| $(Z,K)$ | 1 |
| $(Z,Z)$ | 2 |
Da die vier Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, erhältst du:
| Wert $x$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $1/4$ | $1/2$ | $1/4$ |
Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen
$$\frac14+\frac12+\frac14=1.$$
„Mindestens einmal Zahl“ bedeutet $X\ge 1$. Deshalb gilt:
$$P(X\ge1)=P(X=1)+P(X=2)=\frac12+\frac14=\frac34.$$
Die Verteilungsfunktion sammelt die Wahrscheinlichkeiten bis zu einer Grenze:
$$F_X(x)=P(X\le x).$$
Im Beispiel ist $F_X(1)=P(X\le1)=1/4+1/2=3/4$.
Woran erkennst du diskrete und stetige Variablen?
Diskrete Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn sie endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann. Typische Beispiele sind Anzahlen: die Augensumme, die Zahl der Treffer oder die Zahl ankommender Kunden.
Stetige Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable wird in schulischen Modellen stetig genannt, wenn ihre möglichen Werte ein Intervall ausfüllen können. Typische Beispiele sind Messgrößen wie Zeit, Länge oder Temperatur.
Bei einer stetigen Zufallsvariable mit Dichte werden Wahrscheinlichkeiten als Flächen über Intervallen berechnet. Ein einzelner Dichtewert ist keine Wahrscheinlichkeit. Für solche Verteilungen gilt insbesondere:
$$P(X=x)=0$$
für jeden einzelnen Wert $x$. Trotzdem nimmt die Variable bei einer Messung einen konkreten Wert an.
| Frage | Diskret | Stetig |
|---|---|---|
| Typische Handlung | zählen | messen |
| Mögliche Werte | einzeln aufzählbar | Werte eines Intervalls |
| Wahrscheinlichkeit | Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten | Fläche über einem Intervall |
Wie beschreiben Erwartungswert und Streuung die Verteilung?
Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte. Für eine diskrete Zufallsvariable gilt:
$$E(X)=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i).$$
Beim zweimaligen Münzwurf mit $X=$ Anzahl Zahl erhältst du:
$$E(X)=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1.$$
Das bedeutet: Bei sehr vielen Wiederholungen liegt die mittlere Anzahl von Zahl pro Doppelwurf nahe bei 1. Es bedeutet nicht, dass in jedem Doppelwurf genau einmal Zahl erscheint.
Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert:
$$V(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2\cdot P(X=x_i).$$
Für das Münzbeispiel gilt:
$$V(X)=(0-1)^2\cdot\frac14+(1-1)^2\cdot\frac12+(2-1)^2\cdot\frac14=\frac12.$$
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
$$\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac12}\approx0{,}71.$$
Sie besitzt dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable und beschreibt, wie stark die Werte typischerweise um den Erwartungswert streuen.
Bei Spiel A gewinnst du mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1 Euro oder verlierst 1 Euro. Bei Spiel B beträgt der Gewinn immer 0 Euro.
Für beide Spiele ist der Erwartungswert 0 Euro. Spiel A hat aber die Standardabweichung 1 Euro, Spiel B die Standardabweichung 0 Euro. Beide Spiele sind nach dem Erwartungswert fair, doch Spiel A ist riskanter.
Der Erwartungswert beschreibt die langfristige Mitte. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung um diese Mitte. Gleiche Erwartungswerte bedeuten deshalb nicht automatisch gleiches Risiko.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zufallsvariable
- ordnet Ergebnissen eindeutig Werte zu
- besitzt mögliche Realisierungen
- erzeugt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
- kann diskret oder stetig sein
- hat Kenngrößen wie Erwartungswert und Standardabweichung
- übersetzt Sachfragen in ein mathematisches Modell
Abschluss-Check
Wenn du Ergebnisraum, Zuordnung und Wertemenge sauber trennst, kannst du Zufallsexperimente systematisch in Zahlen übersetzen. Die Verteilung zeigt dann, wie wahrscheinlich diese Zahlen sind; Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben ihre Mitte und Streuung.