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Bei Zufallsexperimenten reicht es oft nicht zu wissen, welche Ergebnisse möglich sind. Du möchtest auch wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder Wert auftritt. Genau das beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Nach dieser Seite kannst du Zufallsvariablen verstehen, Verteilungen als Tabelle darstellen und Erwartungswert-Ideen einordnen.
- Ich kann Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung erklären.
- Ich kann eine diskrete Verteilung als Tabelle lesen.
- Ich kann prüfen, ob Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
- Ich kann einfache Wahrscheinlichkeiten aus einer Verteilung ablesen.
- Ich kann den Erwartungswert einer kleinen Verteilung berechnen.
Von Ergebnissen zu Zahlen
Ein Zufallsexperiment liefert Ergebnisse. Eine Zufallsvariable ordnet diesen Ergebnissen Zahlen zu.
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.
Du wirfst zwei Münzen. Die Zufallsvariable \(X\) zählt, wie oft Kopf fällt.
Mögliche Werte sind 0, 1 und 2.
Eine Zufallsvariable ist keine feste Zahl. Ihr Wert hängt vom Zufallsergebnis ab.
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Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
Eine Verteilung zeigt, welche Werte eine Zufallsvariable annehmen kann und wie wahrscheinlich diese Werte sind.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Wert einer Zufallsvariable seine Wahrscheinlichkeit zu. Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1.
Bei zwei fairen Münzen zählt \(X\) die Anzahl Kopf.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac14\) | \(\frac12\) | \(\frac14\) |
Die Summe ist \(\frac14+\frac12+\frac14=1\).
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Erwartungswert verstehen
Der Erwartungswert ist ein langfristiger Durchschnitt, wenn du das Experiment sehr oft wiederholst.
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt einer Zufallsvariable. Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert.
Für die Anzahl Kopf bei zwei Münzen gilt:
Langfristig erwartest du also im Durchschnitt 1 Kopf pro Doppelwurf.
Der Erwartungswert muss nicht selbst ein Ergebnis sein. Er ist ein Durchschnitt über viele Wiederholungen.
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Prüfungsmodus
Prüfe zuerst, ob die Tabelle vollständig ist. Danach liest oder rechnest du.
Eine Verteilung hat \(P(X=0)=0{,}2\), \(P(X=1)=0{,}5\) und \(P(X=2)=0{,}3\).
Summe: \(0{,}2+0{,}5+0{,}3=1\).
Erwartungswert:
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt alle möglichen Werte einer Zufallsvariable mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen 1 ergeben. Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Durchschnitt.