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Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, welche Werte eine Zufallsgröße annehmen kann und wie wahrscheinlich jeder Wert ist. Bei einer vollständigen diskreten Verteilung ergeben alle Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ beziehungsweise $100\%$.
Auf dieser Seite lernst du, eine Verteilung zu lesen, selbst aufzustellen und zu kontrollieren. Außerdem unterscheidest du diskrete von stetigen Verteilungen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Bei einem Zufallsexperiment interessieren oft nicht die einzelnen Ergebnisse, sondern Zahlen, die ihnen zugeordnet werden. Eine solche Zahl heißt Zufallsgröße.
Wirfst du beispielsweise viermal eine Münze, kann die Zufallsgröße $X$ die Anzahl der Wappen bezeichnen. Dann sind die Werte $0$, $1$, $2$, $3$ und $4$ möglich.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Wert $x$ einer Zufallsgröße $X$ die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ zu.
Für eine diskrete Zufallsgröße lässt sich diese Zuordnung übersichtlich in einer Tabelle darstellen:
| Wert $x$ | $x_1$ | $x_2$ | … | $x_k$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $p_1$ | $p_2$ | … | $p_k$ |
Dabei gelten zwei Bedingungen:
- Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$.
- Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist $1$.
$$p_1+p_2+\dots+p_k=1$$
Beim idealen Würfel ist $X$ die gewürfelte Augenzahl. Die sechs Werte $1$ bis $6$ haben jeweils die Wahrscheinlichkeit $1/6$. Es liegt eine Gleichverteilung vor, weil alle Werte gleich wahrscheinlich sind.
Wie stellst du eine diskrete Verteilung auf?
Gehe in vier Schritten vor:
- Lege die Zufallsgröße fest. Schreibe genau auf, welche Zahl $X$ beschreibt.
- Bestimme alle möglichen Werte. Denke auch an Randfälle wie „kein Erfolg“.
- Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes Werts. Multipliziere Wahrscheinlichkeiten entlang eines passenden Pfades und addiere alternative Pfade.
- Prüfe die Summe. Alle Tabellenwerte müssen zusammen $1$ ergeben.
Erst legst du fest, was gezählt oder gemessen wird. Danach bestimmst du die möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.
Sind alle Wahrscheinlichkeiten bis auf eine bekannt, kannst du die fehlende Wahrscheinlichkeit ergänzen:
$$P(\text{fehlender Wert})=1-\text{Summe der bekannten Wahrscheinlichkeiten}$$
Diese Rechnung ersetzt jedoch nicht den ersten Schritt: Du musst zunächst wissen, welche Werte überhaupt möglich sind.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört zu einer . Zuerst bestimmst du deren . Die Summe aller zugehörigen Wahrscheinlichkeiten muss ergeben.
Wie entsteht die Verteilung im Welpenbeispiel?
Ria bekommt drei Welpen. In diesem Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Rüden bei jedem Welpen $0{,}4$, die für ein Weibchen $0{,}6$. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Rüden.
Für die Rechnung wird angenommen, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten unverändert bleiben und entlang eines Pfades multipliziert werden dürfen.
Schritt 1: Mögliche Werte bestimmen
Unter drei Welpen können kein, ein, zwei oder drei Rüden sein:
$$X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$$
Der Wert $0$ gehört dazu. Er bedeutet: Alle drei Welpen sind weiblich.
Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen
Kein Rüde: Dafür gibt es nur den Pfad Weibchen–Weibchen–Weibchen.
$$P(X=0)=0{,}6^3=0{,}216$$
Genau ein Rüde: Der Rüde kann an erster, zweiter oder dritter Stelle auftreten. Es gibt daher drei passende Pfade mit demselben Produkt.
$$P(X=1)=3\cdot0{,}4\cdot0{,}6^2=0{,}432$$
Genau zwei Rüden: Das Weibchen kann an drei verschiedenen Stellen auftreten.
$$P(X=2)=3\cdot0{,}4^2\cdot0{,}6=0{,}288$$
Drei Rüden: Dafür gibt es wieder nur einen Pfad.
$$P(X=3)=0{,}4^3=0{,}064$$
Schritt 3: Tabelle anlegen und prüfen
| Anzahl der Rüden $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Die Kontrolle ergibt:
$$0{,}216+0{,}432+0{,}288+0{,}064=1$$
Damit ist die Verteilung vollständig.
Die Faktoren $3$ bei $X=1$ und $X=2$ zählen verschiedene Reihenfolgen. Ohne diesen Faktor würdest du jeweils nur einen passenden Pfad berücksichtigen.
Worin unterscheiden sich diskrete und stetige Verteilungen?
Eine diskrete Zufallsgröße besitzt einzelne, abzählbare mögliche Werte. Beispiele sind eine Augenzahl oder die Anzahl der Rüden in einem Wurf. Jedem möglichen Wert kann direkt eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden.
Eine stetige Zufallsgröße kann dagegen jeden Wert in einem Bereich annehmen. Ein Beispiel ist eine Körpergröße, die theoretisch immer genauer gemessen werden kann.
| Diskrete Zufallsgröße | Stetige Zufallsgröße |
|---|---|
| einzelne, abzählbare Werte | beliebig viele Werte in einem Bereich |
| Beispiel: Augenzahl | Beispiel: Körpergröße |
| Wahrscheinlichkeit einzelner Werte | Wahrscheinlichkeit von Intervallen |
| Darstellung oft als Tabelle | Darstellung mithilfe einer Dichtekurve |
Bei einer stetigen Verteilung beschreibt die Höhe der Dichtekurve nicht direkt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts. Wahrscheinlichkeiten gehören zu Intervallen und werden durch die Fläche unter der Dichtekurve bestimmt.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion gibt für einen Grenzwert $x$ an, wie wahrscheinlich ein Ergebnis von höchstens $x$ ist. Sie fasst also alle Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Wert zusammen.
Beim idealen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens $3$:
$$P(X\leq3)=1/6+1/6+1/6=1/2$$
Weil beim Würfel nur einzelne Augenzahlen möglich sind, steigt seine Verteilungsfunktion schrittweise wie eine Treppe.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wahrscheinlichkeitsverteilung
- ordnet Werten Wahrscheinlichkeiten zu
- gehört zu einer Zufallsgröße
- umfasst alle möglichen Werte
- hat insgesamt die Wahrscheinlichkeit 1
- kann diskret oder stetig sein
- lässt sich durch eine Verteilungsfunktion kumulieren
Prüfe beim Aufstellen einer diskreten Verteilung immer dieselben drei Punkte: Sind alle Werte enthalten? Ist jede Wahrscheinlichkeit plausibel? Ergibt ihre Summe genau $1$?
Abschluss-Check
Wenn du alle vier Fragen begründen kannst, kannst du Wahrscheinlichkeitsverteilungen erkennen, aufstellen und kontrollieren.