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Zwei Datensätze können denselben Durchschnitt haben und trotzdem ganz unterschiedlich streuen. Die Varianz misst, wie stark Werte um den Mittelwert verteilt sind.
- Ich kann Streuung erklären.
- Ich kann Varianz aus Daten berechnen.
- Ich kann Abweichungen vom Mittelwert quadrieren.
- Ich kann Varianz und Standardabweichung unterscheiden.
Grundidee
Die Werte 4, 5, 6 und 0, 5, 10 haben beide den Mittelwert 5. Trotzdem schwankt der zweite Datensatz viel stärker.
Varianz
Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Für Daten nutzt man oft \(s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2\).
Du misst zuerst, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt ist. Durch Quadrieren werden negative Abweichungen positiv und große Abweichungen stärker gewichtet.
Daten: 4, 5, 6. Mittelwert: 5.
Abweichungen: -1, 0, 1. Quadrate: 1, 0, 1. Varianz: \(\frac{1+0+1}{3}=\frac23\approx0{,}67\).
Varianz groß bedeutet: Die Werte streuen stark um den Mittelwert.
Vorgehen
Rechne in vier Zeilen: Mittelwert, Abweichungen, quadrierte Abweichungen, Durchschnitt der Quadrate. Die Standardabweichung ist danach die Wurzel aus der Varianz.
Daten: 0, 5, 10. Mittelwert: 5.
Abweichungen: -5, 0, 5. Quadrate: 25, 0, 25. Varianz: \(\frac{50}{3}\approx16{,}67\).
Das ist deutlich größer.
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Prüfungsmodus
Schreibe die Abweichungstabelle sauber. Viele Fehler entstehen, wenn der Mittelwert falsch ist oder Abweichungen nicht quadriert werden.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Die Varianz beschreibt Streuung. Du berechnest sie über quadrierte Abweichungen vom Mittelwert und deutest große Werte als starke Schwankung.