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Varianz berechnen und richtig deuten
Die Varianz misst, wie stark Werte um ihren Mittelwert oder Erwartungswert streuen. Dazu werden alle Abweichungen quadriert und gemittelt beziehungsweise mit Wahrscheinlichkeiten gewichtet. Eine kleine Varianz bedeutet geringe, eine große Varianz starke Streuung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was die Varianz über Daten verrät
Ein Mittelwert beschreibt die Mitte, aber nicht die Verteilung der Werte. Die Datenreihen $4, 5, 6$ und $0, 5, 10$ haben beide den Mittelwert $5$. In der zweiten Reihe liegen die äußeren Werte jedoch viel weiter von $5$ entfernt. Ihre Varianz ist deshalb größer.
Varianz
Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert oder Erwartungswert. Bei einer vollständigen Datenreihe lautet sie:
$$\operatorname{Var}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$
Dabei ist $x_i$ ein Datenwert, $\bar{x}$ der arithmetische Mittelwert und $n$ die Anzahl der Werte.
Warum werden die Abweichungen quadriert? Ohne Quadrieren würden sich negative und positive Abweichungen oft gegenseitig aufheben. Durch das Quadrat werden alle Beiträge nichtnegativ; außerdem zählen große Abstände besonders stark.
Sind alle Werte gleich, ist jede Abweichung $0$ und damit auch die Varianz $0$. Je weiter Werte von der Mitte entfernt liegen, desto größer wird die Varianz.
So berechnest du die Varianz einer Datenreihe
Betrachte Katrins Wegzeiten: $17, 12, 15, 12, 14$ Minuten. Hier behandeln wir genau diese fünf Tage als vollständige Datenreihe und teilen daher durch $n=5$.
1. Mittelwert berechnen
$$\bar{x}=\frac{17+12+15+12+14}{5}=14\text{ Minuten}$$
2. Abweichungen bilden und quadrieren
| Wert in Minuten | Abweichung von 14 | Quadrat |
|---|---|---|
| 17 | 3 | 9 |
| 12 | -2 | 4 |
| 15 | 1 | 1 |
| 12 | -2 | 4 |
| 14 | 0 | 0 |
3. Quadrate mitteln
$$\operatorname{Var}=\frac{9+4+1+4+0}{5}=3{,}6\text{ Minuten}^2$$
4. Ergebnis prüfen
Die Varianz ist nicht negativ. Ihre Einheit ist $\text{Minuten}^2$, weil die Abweichungen quadriert wurden.
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
$$\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}}=\sqrt{3{,}6}\approx1{,}9\text{ Minuten}$$
Sie liegt wieder in Minuten und lässt sich deshalb leichter im Sachzusammenhang deuten. Katrins Wegzeiten weichen typischerweise in einer Größenordnung von etwa $1{,}9$ Minuten vom Mittelwert ab.
Varianz einer Zufallsgröße berechnen
Bei einer diskreten Zufallsgröße sind mögliche Werte nicht unbedingt gleich wahrscheinlich. Deshalb wird jede quadrierte Abweichung mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet.
Varianz einer diskreten Zufallsgröße
Für mögliche Werte $x_i$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_i$ und Erwartungswert $\mu=E(X)$ gilt:
$$\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2p_i$$
Die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, wie stark die einzelnen Abstände in die Summe eingehen.
Gegeben sei diese Verteilung:
| $x_i$ | $p_i$ |
|---|---|
| 0 | 0,5 |
| 1 | 0,4 |
| 6 | 0,1 |
Zuerst wird der Erwartungswert berechnet:
$$\mu=0\cdot0{,}5+1\cdot0{,}4+6\cdot0{,}1=1$$
Nun werden die quadrierten Abstände mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert:
$$\operatorname{Var}(X)=(0-1)^2\cdot0{,}5+(1-1)^2\cdot0{,}4+(6-1)^2\cdot0{,}1$$
$$\operatorname{Var}(X)=0{,}5+0+2{,}5=3$$
Damit ist die Standardabweichung:
$$\sigma=\sqrt{3}\approx1{,}73$$
Obwohl der Wert $6$ nur die Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ besitzt, trägt er wegen seines großen Abstands von $1$ deutlich zur Varianz bei.
Welche Formel passt und wie deutest du das Ergebnis?
Vor dem Rechnen musst du klären, welche Daten vorliegen. Die Formeln sehen ähnlich aus, beantworten aber unterschiedliche Fragen.
- Vollständige Grundgesamtheit oder genau die betrachtete Datenreihe: Teile die Summe der quadrierten Abweichungen durch $n$.
- Stichprobe, mit der du die Streuung einer größeren Grundgesamtheit schätzt: Verwende für die korrigierte Stichprobenvarianz den Divisor $n-1$.
- Bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gewichte jeden quadrierten Abstand mit $p_i$ und addiere.
Für eine Stichprobe lautet die korrigierte Formel:
$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$
Die Angabe „Stichprobe“ allein reicht nicht immer zur Wahl des Divisors. Entscheidend ist die Absicht: Beschreibst du nur die vorliegenden Werte, kann die Division durch $n$ gemeint sein. Schätzt du damit die Varianz einer größeren Grundgesamtheit, wird üblicherweise durch $n-1$ geteilt. In Aufgaben sollte die gewünschte Variante genannt oder aus dem Kontext eindeutig sein.
Varianz oder Standardabweichung?
Varianz und Standardabweichung enthalten dieselbe Streuungsinformation, denn $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}}$ und $\operatorname{Var}=\sigma^2$. Ihre Einheiten unterscheiden sich:
- Bei Wegzeiten in Minuten hat die Varianz die Einheit $\text{Minuten}^2$.
- Die Standardabweichung hat die Einheit Minuten und ist daher anschaulicher.
- Aus $\sigma=2\text{ Minuten}$ folgt $\operatorname{Var}=4\text{ Minuten}^2$.
Typische Fehler sind ein falscher Bezugswert, das Vergessen der Quadrate, das Vermischen von $n$ und $n-1$ sowie eine Varianz in der ursprünglichen statt in der quadrierten Einheit.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Varianz
- Streuung: um den Mittelwert bei Daten oder den Erwartungswert bei Zufallsgrößen
- Quadratische Abweichungen: verhindern das gegenseitige Aufheben und betonen große Abstände
- Vollständige Datenreihe: Summe der Abweichungsquadrate durch $n$
- Korrigierte Stichprobenschätzung: Summe der Abweichungsquadrate durch $n-1$
- Zufallsgröße: quadrierte Abstände mit $p_i$ gewichten
- Standardabweichung: Quadratwurzel der Varianz in der ursprünglichen Einheit