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Spannweite berechnen: Formel, Beispiele und Übungen
Die Spannweite zeigt, wie weit der kleinste und der größte Wert eines Datensatzes auseinanderliegen. Du berechnest sie mit Maximum minus Minimum.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst die Spannweite?
Stell dir vor, du vergleichst mehrere Körpergrößen. Der kleinste Wert beträgt 142 cm, der größte 212 cm. Die Spannweite beschreibt den Abstand zwischen diesen beiden Extremwerten.
Spannweite
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten Wert, dem Maximum, und dem kleinsten Wert, dem Minimum. Sie ist ein Streuungsmaß, weil sie beschreibt, wie weit die äußersten Datenwerte auseinanderliegen.
Die Formel lautet:
$$R=x_{\max}-x_{\min}$$
Dabei bedeutet:
- $R$: Spannweite
- $x_{\max}$: Maximum, also der größte Wert
- $x_{\min}$: Minimum, also der kleinste Wert
Die Spannweite ist nicht der größte Wert und auch nicht die Anzahl der Werte. Sie ist der Abstand zwischen Maximum und Minimum.
So berechnest du die Spannweite
Gegeben sind die Werte:
20, 18, 22, 28, 21, 25, 20, 27, 21, 23
Gehe in drei Schritten vor:
- Sortiere die Daten: 18, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 25, 27, 28.
- Bestimme die Extremwerte: Minimum 18, Maximum 28.
- Subtrahiere: $R=28-18=10$.
Bei Körpergrößen von mindestens 142 cm und höchstens 212 cm gilt:
$$R=212\,\text{cm}-142\,\text{cm}=70\,\text{cm}$$
Die Körpergrößen liegen zwischen ihren beiden Extremwerten 70 cm auseinander. Da beide Ausgangswerte in Zentimetern angegeben sind, hat auch die Spannweite die Einheit Zentimeter.
Wie helfen Häufigkeitstabellen?
Auch in einer Häufigkeitstabelle brauchst du nur die kleinste und die größte vorkommende Merkmalsausprägung. Die Häufigkeiten geben an, wie oft oder mit welchem Anteil ein Wert vorkommt. Sie werden bei der Berechnung der Spannweite nicht addiert oder subtrahiert.
| Alter | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Relative Häufigkeit | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
In der sichtbaren Alterszeile ist 12 das Minimum und 17 das Maximum. Daher gilt:
$$R=17-12=5$$
Die Spannweite beträgt 5 Jahre. Ob ein Alter häufig oder selten vorkommt, ändert diesen Abstand nicht.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Spannweite suchst du zuerst das und das . Danach rechnest du .
Warum können Ausreißer täuschen?
Ein Ausreißer ist ein Wert, der weit von den übrigen Daten entfernt liegt. Da die Spannweite nur Minimum und Maximum berücksichtigt, kann ein einziger extremer Wert das Ergebnis stark verändern.
Vergleiche diese Datenreihen:
- Reihe A: 20, 18, 22, 28, 21, 25, 20, 27, 21, 23
- Reihe B: 20, 18, 22, 40, 21, 25, 20, 27, 21, 23
Für Reihe A gilt:
$$R=28-18=10$$
Für Reihe B gilt:
$$R=40-18=22$$
Nur der Wert 28 wurde durch 40 ersetzt. Trotzdem steigt die Spannweite von 10 auf 22.
Die Spannweite ist gegenüber Ausreißern nicht robust. Das bedeutet: Ein einzelner extremer Minimal- oder Maximalwert kann sie stark verändern. Werte zwischen den beiden Extremen berücksichtigt sie nicht.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Spannweite
- Berechnung: Maximum minus Minimum
- Vorbereitung: Daten sortieren und Extremwerte finden
- Bedeutung: Abstand der äußersten Werte
- Einheit: dieselbe Einheit wie die Daten
- Häufigkeiten: verändern das Verfahren nicht
- Grenze: empfindlich gegenüber Ausreißern
Abschluss-Check
Prüfe deine Rechnungen zum Schluss mit drei Fragen: Hast du wirklich den größten und den kleinsten Wert gewählt? Hast du das Minimum vom Maximum abgezogen? Passt die Einheit zum Datensatz?