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Boxplot erstellen und interpretieren – einfach erklärt
Ein Boxplot fasst eine geordnete Datenreihe mit fünf Kennwerten zusammen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. So erkennst du schnell, wo die Daten liegen und wie stark sie streuen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die fünf Kennwerte verstehen
Stell dir vor, du möchtest viele Messwerte übersichtlich darstellen. Ein Boxplot zeigt nicht jeden Einzelwert, sondern eine Fünf-Punkte-Zusammenfassung.
Boxplot
Ein Boxplot, auch Kastengrafik genannt, stellt die Lage und Streuung einer Datenreihe mithilfe von fünf Kennwerten dar.
| Kennwert | Bedeutung |
|---|---|
| Minimum | kleinster Wert |
| Unteres Quartil $Q_1$ | Grenze des unteren Viertels |
| Median | teilt die geordneten Daten in zwei Hälften |
| Oberes Quartil $Q_3$ | Grenze des oberen Viertels |
| Maximum | größter Wert |
Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$. In ihr liegen die mittleren 50 % der geordneten Daten. Eine Linie in der Box kennzeichnet den Median.
Bevor du Median und Quartile bestimmst, musst du die Daten immer der Größe nach ordnen.
Quartile Schritt für Schritt berechnen
Betrachte diese bereits geordnete Datenreihe:
$8, 8, 12, 14, 14, 17, 19, 20$
1. Minimum und Maximum ablesen
Das Minimum ist $8$, das Maximum ist $20$.
2. Median bestimmen
Es gibt acht Werte. Bei einer geraden Anzahl bildest du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Hier sind das der vierte und der fünfte Wert:
$$\text{Median}=\frac{14+14}{2}=14$$
3. Unteres Quartil bestimmen
Die untere Hälfte lautet:
$8, 8, 12, 14$
Ihr Median ist das untere Quartil:
$$Q_1=\frac{8+12}{2}=10$$
4. Oberes Quartil bestimmen
Die obere Hälfte lautet:
$14, 17, 19, 20$
Ihr Median ist das obere Quartil:
$$Q_3=\frac{17+19}{2}=18$$
Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung lautet:
- Minimum: $8$
- $Q_1$: $10$
- Median: $14$
- $Q_3$: $18$
- Maximum: $20$
Der Interquartilsabstand beschreibt die Streuung der mittleren 50 %:
$$IQR=Q_3-Q_1=18-10=8$$
Die Spannweite beschreibt den Abstand zwischen kleinstem und größtem Wert:
$$R=20-8=12$$
Bei einer ungeraden Anzahl verwendest du den mittleren Wert als Median. Für die Quartile nutzt du hier die Daten links und rechts davon, ohne den Median noch einmal einzubeziehen. Halte dich bei Aufgaben immer an die dort vorgegebene Berechnungsregel.
Den Boxplot zeichnen und ablesen
Mit den fünf Kennwerten zeichnest du den Boxplot in vier Schritten:
- Zeichne eine passende Zahlengerade.
- Markiere $Q_1=10$ und $Q_3=18$ und verbinde beide Grenzen zu einer Box.
- Zeichne bei $14$ die Medianlinie in die Box.
- Verbinde die Box durch die beiden Whisker mit Minimum $8$ und Maximum $20$.
Die Boxlänge entspricht dem Interquartilsabstand. Je länger die Box ist, desto stärker streuen die mittleren 50 % der Daten.
Es gibt unterschiedliche Regeln für die Whisker, also die Linien außerhalb der Box. In einfachen Schulaufgaben reichen sie häufig bis zum Minimum und Maximum. Bei der Ausreißerdarstellung mit der $1{,}5$-IQR-Regel enden sie dagegen am äußersten beobachteten Wert, der noch innerhalb der Grenzen $Q_1-1{,}5\cdot IQR$ und $Q_3+1{,}5\cdot IQR$ liegt. Weiter entfernte Werte werden einzeln als Ausreißer markiert. Prüfe deshalb, welche Regel in der Aufgabe gilt.
Aus einem Standard-Boxplot kannst du den Median direkt ablesen. Das arithmetische Mittel und die Standardabweichung sind dagegen nicht enthalten. Eine zusätzliche Mittelwertmarkierung kann vorkommen, gehört aber nicht zwingend zum Boxplot.
Zwei Verteilungen vergleichen
Für einen Vergleich brauchst du nicht nur einen einzelnen Kennwert. Betrachte zwei Datenreihen:
- A: $8, 8, 12, 14, 14, 17, 19, 20$
- B: $8, 10, 12, 14, 14, 17, 17, 20$
| Kennwert | Datenreihe A | Datenreihe B |
|---|---|---|
| Minimum | 8 | 8 |
| $Q_1$ | 10 | 11 |
| Median | 14 | 14 |
| $Q_3$ | 18 | 17 |
| Maximum | 20 | 20 |
| $IQR$ | 8 | 6 |
| Spannweite | 12 | 12 |
Beide Reihen haben denselben Median. Ihre zentrale Lage ist nach diesem Kennwert gleich. Auch ihre Spannweiten stimmen überein.
Der IQR von B ist jedoch kleiner. Deshalb liegen die mittleren 50 % der Werte bei B enger zusammen. Diese Aussage bezieht sich auf den mittleren Datenbereich, nicht automatisch auf jeden Einzelwert.
Vergleiche Boxplots mindestens nach Lage und Streuung: Der Median beschreibt die zentrale Lage, der IQR die Streuung der mittleren Hälfte und die Spannweite den gesamten Wertebereich.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Datenreihe B hat den IQR . Ihre mittleren 50 % streuen deshalb als bei A. Der Median ist in beiden Reihen .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Boxplot
- Vorbereitung: Daten ordnen
- Kennwerte: Minimum, $Q_1$, Median, $Q_3$, Maximum
- Darstellung: Box, Medianlinie und Whisker
- Lage: Median vergleichen
- Streuung: IQR und Spannweite vergleichen
- Grenze: Einzelwerte und Mittelwert meist nicht ablesbar