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Statistik und Datenauswertung einfach erklärt
Statistik hilft dir, Daten systematisch zu sammeln, zu ordnen, darzustellen und zu deuten. Du kannst damit Häufigkeiten vergleichen, typische Werte bestimmen und beurteilen, wie aussagekräftig eine Untersuchung ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von der Frage zu den Daten
Am Anfang steht nicht die Rechnung, sondern eine klare Frage. Möchtest du zum Beispiel wissen, wie Schülerinnen und Schüler zur Schule kommen, musst du festlegen, wen du befragst und welche Antworten du erhebst.
Grundbegriffe einer Erhebung
- Die Grundgesamtheit ist die gesamte Gruppe, über die du etwas herausfinden möchtest.
- Ein Merkmalsträger ist eine einzelne untersuchte Person oder ein untersuchtes Objekt.
- Eine Stichprobe ist der tatsächlich untersuchte Teil der Grundgesamtheit.
- Ein Merkmal ist die untersuchte Eigenschaft.
- Eine Merkmalsausprägung ist ein möglicher Wert des Merkmals.
Beispiel: Du möchtest untersuchen, wie die 600 Schülerinnen und Schüler einer Schule zur Schule kommen. Die Grundgesamtheit umfasst alle 600 Personen. Befragst du 100 von ihnen, bilden diese die Stichprobe. Das Merkmal lautet „Schulweg“, mögliche Ausprägungen sind etwa „zu Fuß“, „Fahrrad“ und „Bus“.
Eine sinnvolle Erhebung folgt diesem Weg:
- Formuliere eine eindeutige Frage.
- Bestimme Grundgesamtheit und Merkmal.
- Wähle eine geeignete Stichprobe.
- Lege eindeutige Antwortmöglichkeiten oder Messregeln fest.
- Sammle und ordne die Daten.
- Werte sie aus und deute sie vorsichtig.
Eine Auswertung kann nur so gut sein wie die Daten, auf denen sie beruht. Eine unpassende Stichprobe oder unklare Frage lässt sich durch korrektes Rechnen nicht reparieren.
Häufigkeiten bestimmen
Eine Strichliste hilft dir beim Zählen. Üblicherweise fasst du je fünf Striche zu einer gut erkennbaren Gruppe zusammen.
Die absolute Häufigkeit $H(x)$ gibt an, wie oft ein Wert $x$ vorkommt. Die relative Häufigkeit vergleicht diese Anzahl mit allen $n$ Beobachtungen:
$$h(x)=H(x)/n$$
Für die prozentuale Häufigkeit multiplizierst du die relative Häufigkeit mit 100 %.
Die Notenliste lautet:
2, 3, 1, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 1
Die Note 2 kommt dreimal unter insgesamt zehn Noten vor.
- Absolute Häufigkeit: $H(2)=3$
- Relative Häufigkeit: $h(2)=3/10=0{,}3$
- Prozentuale Häufigkeit: $0{,}3\cdot100\,\%=30\,\%$
Also sind 30 % der eingetragenen Noten Zweien.
Absolute Häufigkeiten sind Anzahlen. Relative Häufigkeiten liegen zwischen 0 und 1. Prozentuale Häufigkeiten liegen zwischen 0 % und 100 %.
Mittelwert, Median und Modus vergleichen
Kennwerte fassen eine Datenliste zusammen. Verschiedene Kennwerte beantworten jedoch verschiedene Fragen.
Arithmetischer Mittelwert
Der arithmetische Mittelwert, oft Durchschnitt genannt, ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl.
Für die zehn Noten aus dem vorherigen Kapitel gilt:
$$\text{Mittelwert}=(2+3+1+4+3+2+5+2+4+1)/10=27/10=2{,}7$$
Median
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten bildest du den Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Sortiert lautet die Notenliste:
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5
Die beiden mittleren Werte sind 2 und 3. Deshalb gilt:
$$\text{Median}=(2+3)/2=2{,}5$$
Mindestens die Hälfte der Werte ist höchstens 2,5 und mindestens die Hälfte mindestens 2,5.
Modus
Der Modus oder Modalwert ist ein Wert mit der größten Häufigkeit. In der Notenliste ist 2 der Modus, weil sie dreimal vorkommt.
Es kann mehrere Modi geben, wenn mehrere Werte dieselbe größte Häufigkeit besitzen. Kommt jeder Wert gleich häufig vor, gibt es keinen besonders häufigsten Wert.
Betrachte die sortierte Liste 2, 3, 3, 4, 18.
- Mittelwert: $(2+3+3+4+18)/5=6$
- Median: 3
- Modus: 3
Der einzelne Wert 18 zieht den Mittelwert nach oben. Der Median bleibt 3, weil er nur von der mittleren Position abhängt. Für einen typischen Wert dieser Liste sind Median oder Modus daher aussagekräftiger als der Mittelwert.
Streuung und Klassen beurteilen
Ein Lagewert allein zeigt nicht, wie weit die Daten auseinanderliegen. Die Spannweite ist ein erstes Streuungsmaß:
$$\text{Spannweite}=\text{Maximum}-\text{Minimum}$$
Für die Notenliste mit Minimum 1 und Maximum 5 beträgt sie:
$$5-1=4$$
Für die Liste 2, 3, 3, 4, 18 ist sie dagegen:
$$18-2=16$$
Der extreme Wert 18 vergrößert die Spannweite stark. Deshalb solltest du beim Deuten immer auch die Datenliste oder ihre Verteilung betrachten.
Ein Ausreißer ist ein Wert, der auffällig weit von den übrigen Werten entfernt liegt. Ob ein Wert wirklich als Ausreißer gilt, lässt sich nicht allein aus seiner Größe ableiten; der Zusammenhang und die übrigen Daten sind wichtig.
Viele Einzelwerte lassen sich zu Klassen zusammenfassen, zum Beispiel Körpergewichte von 41 bis 50 kg, 51 bis 60 kg und 61 bis 70 kg. Das schafft Übersicht, verdeckt aber die genauen Einzelwerte. Die Klassen müssen so festgelegt sein, dass jeder passende Wert eindeutig zugeordnet werden kann.
Ergebnisse deuten und Grenzen erkennen
Die deskriptive Statistik beschreibt die tatsächlich erhobenen Daten, etwa mit Häufigkeiten, Kennwerten, Tabellen oder Diagrammen.
Die induktive oder schließende Statistik versucht, von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen. Solche Rückschlüsse bleiben mit Unsicherheit verbunden. Eine geeignete Stichprobe ist dafür entscheidend.
Beobachtung und Interpretation darfst du nicht verwechseln:
- Beobachtung: 10 Personen antworten „jeden Tag“, 15 „manchmal“ und 5 „nie“.
- Zulässige Beschreibung: „Manchmal“ wurde am häufigsten gewählt.
- Nicht belegte Deutung: Die Befragten seien unmotiviert.
Die Antworten zeigen zunächst nur die genannten Häufigkeiten. Für eine Aussage über Motivation wären zusätzliche, passend erhobene Informationen nötig.
Beschreibe zuerst, was die Daten tatsächlich zeigen. Formuliere eine Erklärung nur dann als Schlussfolgerung, wenn die Erhebung sie trägt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Statistik und Datenauswertung
- Erhebung
- Frage, Grundgesamtheit, Stichprobe und Merkmal festlegen
- Daten eindeutig erfassen
- Beschreibung
- Absolute, relative und prozentuale Häufigkeit bestimmen
- Mittelwert, Median und Modus vergleichen
- Spannweite und Ausreißer beachten
- Darstellung
- Daten ordnen oder zu Klassen zusammenfassen
- Informationsverlust durch Klassen berücksichtigen
- Deutung
- Beobachtung von Interpretation trennen
- Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit vorsichtig prüfen
- Erhebung