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Reelle Zahlen: rational oder irrational erkennen
Reelle Zahlen sind alle Zahlen, die einen Punkt auf der Zahlengeraden haben. Sie bestehen genau aus den rationalen und den irrationalen Zahlen. Beide Gruppen überschneiden sich nicht.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Zahlen gehören zu den reellen Zahlen?
Vielleicht kennst du Zählzahlen, negative Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen und Wurzeln. Sie gehören nicht zu getrennten Welten: Sie lassen sich in ineinanderliegenden Zahlenmengen ordnen.
$$\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$$
- Natürliche Zahlen $\mathbb N$ sind Zählzahlen wie $1,2,3,\ldots$. Je nach Vereinbarung zählt auch $0$ dazu.
- Ganze Zahlen $\mathbb Z$ sind natürliche Zahlen, ihre negativen Gegenzahlen und $0$, zum Beispiel $-4$, $0$ und $12$.
- Rationale Zahlen $\mathbb Q$ lassen sich als Bruch $\frac pq$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q\ne 0$ schreiben.
- Reelle Zahlen $\mathbb R$ umfassen alle rationalen und alle irrationalen Zahlen.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Beispiele sind $\sqrt2$, $\pi$ und $e$.
Damit gilt:
$$\mathbb R=\mathbb Q\cup(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$$
Die Menge $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ enthält die irrationalen Zahlen. Eine reelle Zahl ist also entweder rational oder irrational, niemals beides.
Jede natürliche, ganze oder rationale Zahl ist reell. Aber nicht jede reelle Zahl ist rational.
Woran erkennst du rational und irrational?
Der sicherste Test ist die Bruchdarstellung: Kannst du eine Zahl als $\frac pq$ mit $p,q\in\mathbb Z$ und $q\ne0$ schreiben, ist sie rational.
Auch die Dezimaldarstellung hilft:
- endlich: rational, zum Beispiel $2{,}5=\frac52$;
- unendlich und periodisch: rational, zum Beispiel $\frac16=0{,}1\overline6$;
- unendlich und nichtperiodisch: irrational.
Periodisch bedeutet: Ab einer Stelle wiederholt sich immer derselbe Ziffernblock.
Die Zahl $0{,}125$ besitzt nur drei Nachkommastellen. Du kannst sie als Bruch schreiben:
$$0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac18$$
Also ist $0{,}125$ rational und deshalb reell.
Die Schreibweise mit Auslassungspunkten allein reicht nicht immer für eine Entscheidung. Bei $0{,}333\ldots$ muss klar sein, dass sich die $3$ endlos wiederholt. Dann ist die Zahl periodisch und rational.
„Unendlich viele Nachkommastellen“ bedeutet nicht automatisch „irrational“. Erst unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen kennzeichnen eine irrationale Zahl.
Wie füllen reelle Zahlen die Zahlengerade?
Jeder reellen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Umgekehrt gehört zu jedem Punkt der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl.
Rationale Zahlen liegen zwar überall dicht: Zwischen zwei rationalen Zahlen findest du immer weitere rationale Zahlen. Trotzdem reichen sie nicht für jeden Punkt aus.
Ein Quadrat mit Seitenlänge $1$ hat nach dem Satz des Pythagoras die Diagonalenlänge $\sqrt2$. Diese Länge ist keine rationale Zahl, besitzt aber einen eindeutigen Punkt zwischen $1$ und $2$ auf der Zahlengeraden. Deshalb gehört $\sqrt2$ zu den irrationalen reellen Zahlen.
Die reellen Zahlen schließen solche Lücken. Diese Eigenschaft heißt Vollständigkeit. Anschaulich bedeutet sie: Die reelle Zahlengerade hat keine fehlenden Zahlenpunkte.
Wurzeln kannst du oft ohne Dezimalwert eingrenzen. Für $\sqrt{10}$ vergleichst du $10$ mit benachbarten Quadratzahlen:
$$3^2=9<10<16=4^2$$
Daraus folgt:
$$3<\sqrt{10}<4$$
Da $10$ keine Quadratzahl ist, ist $\sqrt{10}$ außerdem irrational.
Wie ordnest du eine Zahl sicher ein?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Bruch prüfen: Ist die Zahl bereits ein Bruch aus ganzen Zahlen mit Nenner ungleich $0$?
- Dezimaldarstellung prüfen: Ist sie endlich oder periodisch?
- Quadratwurzel prüfen: Bei $\sqrt n$ mit natürlichem $n$ ist das Ergebnis rational, wenn $n$ eine Quadratzahl ist. Andernfalls ist es irrational.
- Bekannte irrationale Zahl erkennen: Dazu gehören etwa $\pi$ und $e$.
- Kleinste passende Menge nennen: Zum Beispiel ist $3$ natürlich, ganz, rational und reell. Die kleinste dieser Mengen ist $\mathbb N$.
So lassen sich typische Zahlen einordnen:
| Zahl | Begründung | kleinste passende Menge |
|---|---|---|
| $3$ | natürliche Zahl | $\mathbb N$ |
| $\frac52=2{,}5$ | als Bruch darstellbar | $\mathbb Q$ |
| $\frac16=0{,}1\overline6$ | periodisch und als Bruch gegeben | $\mathbb Q$ |
| $-\sqrt2$ | $2$ ist keine Quadratzahl | irrational in $\mathbb R$ |
| $\pi$ | bekannte irrationale Zahl | irrational in $\mathbb R$ |
Nicht jede Wurzel ist irrational. Zum Beispiel gilt $\sqrt9=3$. Weil $9$ eine Quadratzahl und $3$ eine natürliche Zahl ist, ist $\sqrt9$ rational.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Reelle Zahlen $\mathbb R$
- Rationale Zahlen $\mathbb Q$
- natürliche und ganze Zahlen
- endliche oder periodische Dezimaldarstellung
- Irrationale Zahlen
- nicht als Bruch darstellbar
- unendliche nichtperiodische Dezimaldarstellung
- Zahlengerade
- genau ein Punkt zu jeder reellen Zahl
- rationale Näherungen für irrationale Zahlen
- Rationale Zahlen $\mathbb Q$
Abschluss-Check
Wenn du eine Zahl einordnest, prüfe zuerst die Bruchdarstellung und danach die Dezimaldarstellung. Bei Quadratwurzeln prüfst du zusätzlich, ob unter der Wurzel eine Quadratzahl steht. So vermeidest du den häufigsten Fehler: unendlich mit irrational gleichzusetzen.