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Auf dem Zahlenstrahl kennst du zuerst ganze Zahlen und Brüche. Später merkst du: Zwischen ihnen liegen noch viel mehr Zahlen, zum Beispiel \(\sqrt2\) oder \(\pi\).
Hier lernst du, was reelle Zahlen sind, wie sie sich aus rationalen und irrationalen Zahlen zusammensetzen und wie du Zahlen auf dem Zahlenstrahl einordnest.
- Ich kann die Menge der reellen Zahlen beschreiben.
- Ich kann natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen unterscheiden.
- Ich kann Beispiele den Zahlenmengen zuordnen.
- Ich kann erklären, warum nicht jede Dezimalzahl abbricht.
- Ich kann reelle Zahlen auf dem Zahlenstrahl deuten.
Zahlenmengen als Ordnungssystem
Zahlenmengen helfen dir, Zahlen zu sortieren. Jede neue Menge erweitert das, was du schon kennst.
Zahlenmenge
Eine Zahlenmenge ist eine Sammlung von Zahlen mit gemeinsamen Eigenschaften.
Natürliche Zahlen sind zum Beispiel \(1,2,3,4,\dots\).
Ganze Zahlen enthalten zusätzlich \(0\) und negative Zahlen:
\(\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\)
Rationale Zahlen enthalten Brüche wie \(\frac34\) oder \(-\frac52\).
Jede ganze Zahl ist auch rational, denn du kannst sie als Bruch schreiben: \(5=\frac51\).
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Rationale Zahlen
Rationale Zahlen sind Zahlen, die du als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kannst.
Rationale Zahl
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch \(\frac ab\) geschrieben werden kann, wobei \(a\) und \(b\) ganze Zahlen sind und \(b\ne0\) gilt.
\(0{,}75\) ist rational.
Denn:
\(0{,}75=\frac{75}{100}=\frac34\).
\(0{,}\overline{3}\) ist rational.
Denn:
\(0{,}\overline{3}=\frac13\).
Die Dezimalzahl bricht nicht ab, wiederholt sich aber periodisch.
Rationale Dezimalzahlen brechen ab oder werden periodisch.
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Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen kannst du nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Ihre Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wird nicht periodisch.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann.
\(\sqrt2\) ist irrational.
Als Dezimalzahl beginnt sie ungefähr mit \(1{,}4142135\dots\)
Die Ziffern brechen nicht ab und wiederholen sich nicht periodisch.
\(\pi\) ist irrational.
\(\pi \approx 3{,}14159\dots\)
Auch hier gibt es keine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.
Nicht jede Wurzel ist irrational. \(\sqrt9=3\) ist rational. Irrational sind zum Beispiel Wurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, etwa \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) oder \(\sqrt5\).
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Die reellen Zahlen
Die reellen Zahlen umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen. Sie füllen den Zahlenstrahl lückenlos.
Reelle Zahlen
Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl liegen. Dazu gehören rationale und irrationale Zahlen. Das Zeichen ist \(\mathbb R\).
Diese Zahlen sind reell:
\(-3\), \(0\), \(\frac12\), \(2{,}75\), \(\sqrt2\), \(\pi\).
Sie alle haben einen Platz auf dem Zahlenstrahl.
Für die Schulmathematik gilt meistens: Wenn eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, ist sie reell.
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Zahlen einordnen
Beim Einordnen fragst du: Zu welcher kleinsten bekannten Menge passt die Zahl?
Ordne \(-8\) ein.
\(-8\) ist eine ganze Zahl.
Also ist \(-8\) auch rational und reell.
Ordne \(\frac{6}{3}\) ein.
\(\frac63=2\).
Die Zahl ist also natürlich, ganz, rational und reell.
Ordne \(\sqrt7\) ein.
\(7\) ist keine Quadratzahl.
\(\sqrt7\) ist irrational und reell.
Vereinfache zuerst. Eine Zahl kann anders aussehen, als sie ist: \(\sqrt{25}=5\).
Prüfungsmodus: Aussagen prüfen
In Tests kommen oft Aussagen wie "Alle Brüche sind irrational" oder "Jede ganze Zahl ist rational". Prüfe sie mit Definitionen und Gegenbeispielen.
Aussage: Jede ganze Zahl ist rational.
Stimmt.
Begründung: Jede ganze Zahl \(z\) kannst du als \(\frac z1\) schreiben.
Aussage: Jede Wurzel ist irrational.
Falsch.
Gegenbeispiel: \(\sqrt{9}=3\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Reelle Zahlen sind alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Sie bestehen aus rationalen Zahlen, die als Bruch darstellbar sind, und irrationalen Zahlen wie \(\sqrt2\) oder \(\pi\).
Beim Einordnen vereinfachst du zuerst und nutzt dann die Definitionen der Zahlenmengen.