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Intervalle: Schreibweisen und Mengenoperationen
Ein Intervall ist ein lückenloser Bereich auf der Zahlengeraden. An den Klammern erkennst du, ob die Randwerte dazugehören. So kannst du dieselbe Menge als Intervall, Ungleichung, Mengenschreibweise oder auf der Zahlengeraden darstellen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Zahlenbereich zum Intervall
Stell dir alle reellen Zahlen von $2$ bis $5$ vor. Zu diesem Bereich gehören nicht nur $2,3,4,5$, sondern zum Beispiel auch $2{,}4$, $\sqrt{10}$ und jede andere reelle Zahl dazwischen. Ein Intervall hat also keine Lücken.
Intervall
Ein Intervall ist eine lückenlose Teilmenge einer geordneten Zahlenmenge. Auf dieser Seite ist die Grundmenge $\mathbb R$. Liegen zwei Zahlen im Intervall, dann liegen auch alle reellen Zahlen zwischen ihnen darin.
Die Schreibweise $[2,5]$ nennt die untere Grenze $2$ und die obere Grenze $5$. Die eckigen Klammern zeigen: Beide Grenzen sind enthalten.
Die Zahl $3{,}7$ liegt in $[2,5]$, denn $2\le 3{,}7\le 5$.
Die Zahl $6$ liegt nicht in $[2,5]$, denn sie ist größer als die obere Grenze $5$.
An den Klammern die Grenzen erkennen
Eine eckige Klammer an einer endlichen Grenze bedeutet: Der Randwert gehört dazu. Eine runde Klammer bedeutet: Der Randwert gehört nicht dazu.
| Art | Intervall | Bedingung | Enthaltene Grenzen |
|---|---|---|---|
| abgeschlossen | $[a,b]$ | $a\le x\le b$ | $a$ und $b$ |
| offen | $(a,b)$ | $a\lt x\lt b$ | keine |
| rechtsoffen | $[a,b)$ | $a\le x\lt b$ | nur $a$ |
| linksoffen | $(a,b]$ | $a\lt x\le b$ | nur $b$ |
Bei einem halboffenen Intervall ist genau eine Grenze enthalten. Der Name sagt, welche Seite offen ist: $[a,b)$ ist rechts offen, $(a,b]$ ist links offen.
Eckige Klammer $\leftrightarrow$ Randwert enthalten $\leftrightarrow$ Zeichen $\le$ oder $\ge$.
Runde Klammer $\leftrightarrow$ Randwert ausgeschlossen $\leftrightarrow$ Zeichen $\lt$ oder $\gt$.
Manchmal findest du statt runder Klammern nach außen gerichtete eckige Klammern: $]a,b[$ bedeutet dasselbe wie $(a,b)$, und $[a,b[$ bedeutet dasselbe wie $[a,b)$.
Für $I=(-2,6]$ gilt:
- $-2$ ist ausgeschlossen.
- $6$ ist enthalten.
- Jede reelle Zahl zwischen $-2$ und $6$ ist enthalten.
Damit ist $I$ linksoffen und zugleich rechts abgeschlossen.
Zwischen drei Darstellungen wechseln
Eine Intervallmenge lässt sich auf drei gleichwertige Arten ausdrücken:
$$[-2,6)=\{x\in\mathbb R\mid -2\le x\lt6\}.$$
Die Intervallschreibweise ist kurz. Die Ungleichung zeigt die Bedingungen an $x$. Die Mengenschreibweise liest du so: „Alle reellen Zahlen $x$, für die $-2\le x\lt6$ gilt.“
Auf der Zahlengeraden gilt:
- Ein ausgefüllter Punkt bei einer Grenze bedeutet: Die Grenze ist enthalten.
- Ein offener Kreis bedeutet: Die Grenze ist ausgeschlossen.
- Die durchgehende Linie zwischen den Grenzen zeigt alle enthaltenen Zahlen.
Für $[-2,6)$ beschreibst du die Darstellung daher auch ohne Bild eindeutig: ausgefüllter Punkt bei $-2$, offener Kreis bei $6$, durchgehende Linie dazwischen.
Gesucht ist die Intervallschreibweise zu $1\lt x\le7$.
- Bei $1$ gilt ein strenges $\lt$: Die Grenze ist ausgeschlossen, also steht links eine runde Klammer.
- Bei $7$ gilt $\le$: Die Grenze ist enthalten, also steht rechts eine eckige Klammer.
- Das Ergebnis ist $(1,7]$.
Auf der Zahlengeraden: offener Kreis bei $1$, ausgefüllter Punkt bei $7$, Linie dazwischen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Das Intervall $(-4,9]$ entspricht der Bedingung $-4$ $x$ und $x$ $9$. Bei $-4$ steht auf der Zahlengeraden ein , bei $9$ ein .
Unbeschränkte Intervalle richtig schreiben
Ein Intervall kann in eine Richtung unbegrenzt weiterlaufen. Dafür stehen $-\infty$ und $\infty$. Sie bezeichnen keine reellen Zahlen und können deshalb niemals zum Intervall gehören. Bei ihnen steht immer eine runde, offene Klammer.
| Intervall | Mengenschreibweise | Beschreibung auf der Zahlengeraden |
|---|---|---|
| $(-\infty,b]$ | $\{x\in\mathbb R\mid x\le b\}$ | Strahl nach links, ausgefüllter Punkt bei $b$ |
| $(-\infty,b)$ | $\{x\in\mathbb R\mid x\lt b\}$ | Strahl nach links, offener Kreis bei $b$ |
| $[a,\infty)$ | $\{x\in\mathbb R\mid x\ge a\}$ | ausgefüllter Punkt bei $a$, Strahl nach rechts |
| $(a,\infty)$ | $\{x\in\mathbb R\mid x\gt a\}$ | offener Kreis bei $a$, Strahl nach rechts |
Alle reellen Zahlen bilden das beidseitig unbeschränkte Intervall $(-\infty,\infty)=\mathbb R$.
Die Ungleichung $x\ge3$ beschreibt alle reellen Zahlen ab $3$ einschließlich der $3$.
Deshalb lautet das Intervall $[3,\infty)$. Auf der Zahlengeraden steht bei $3$ ein ausgefüllter Punkt; der Strahl läuft nach rechts.
Intervalle schneiden und vereinigen
Mit der Schnittmenge $A\cap B$ suchst du alle Zahlen, die gleichzeitig in $A$ und in $B$ liegen. Mit der Vereinigungsmenge $A\cup B$ sammelst du alle Zahlen, die in mindestens einem der beiden Intervalle liegen.
Schnittmenge
$A\cap B$ enthält genau die gemeinsamen Elemente von $A$ und $B$. Auf der Zahlengeraden ist das die Überlappung.
Bestimme $[-2,3)\cap(1,5]$.
- Beide Intervalle enthalten Zahlen zwischen $1$ und $3$.
- Die $1$ gehört nicht zum zweiten Intervall und damit nicht zum Schnitt.
- Die $3$ gehört nicht zum ersten Intervall und damit ebenfalls nicht zum Schnitt.
Also gilt:
$$[-2,3)\cap(1,5]=(1,3).$$
Vereinigungsmenge
$A\cup B$ enthält alle Elemente aus $A$, aus $B$ oder aus beiden Mengen. Überlappen oder berühren sich die Bereiche ohne Lücke, lässt sich die Vereinigung als ein Intervall schreiben.
Bestimme $(-\infty,2]\cup(0,4)$.
Das erste Intervall reicht bis $2$, das zweite beginnt schon oberhalb von $0$. Die Bereiche überlappen sich. Gemeinsam decken sie alle Zahlen kleiner als $4$ ab; $4$ bleibt ausgeschlossen.
$$(-\infty,2]\cup(0,4)=(-\infty,4).$$
Dagegen bleiben bei $[-3,-1]\cup(2,5]$ die Zahlen zwischen $-1$ und $2$ ausgeschlossen. Die Vereinigung hat eine Lücke und ist deshalb nicht ein einziges Intervall. Sie bleibt $[-3,-1]\cup(2,5]$.
Typische Fehler vermeiden
Die Seite des offenen Randes vertauschen
Bei $[2,8)$ ist die rechte Seite offen. Die linke Grenze $2$ gehört dazu, die rechte Grenze $8$ nicht.
Unendlichkeit einschließen
Schreibweisen wie $[3,\infty]$ sind falsch. Richtig ist $[3,\infty)$, weil $\infty$ keine reelle Zahl ist.
Nur ganze Zahlen betrachten
$[2,5]$ enthält auch Zahlen wie $2{,}01$, $\frac52$ und $\sqrt{10}$. Ein reelles Intervall enthält alle reellen Zahlen zwischen seinen Grenzen.
Bei der Schnittmenge den falschen Rand übernehmen
Ein Randwert gehört nur dann zur Schnittmenge, wenn er in beiden Mengen enthalten ist. Für die Vereinigung reicht es dagegen, wenn er in mindestens einer Menge enthalten ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Intervalle
- Grenzen: eckig enthalten, rund ausgeschlossen
- Arten: offen, abgeschlossen, halboffen, unbeschränkt
- Darstellungen: Klammern, Ungleichung, Mengenschreibweise, Zahlengerade
- Verknüpfungen: Schnittmenge als Überlappung, Vereinigung als Zusammenfassung
Abschluss-Check
Wenn du jeden Randwert einzeln prüfst und erst danach den Bereich betrachtest, kannst du Intervallschreibweisen zuverlässig übersetzen und Mengenoperationen sicher ausführen.