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In Mathe willst du oft nicht nur einzelne Zahlen beschreiben, sondern ganze Bereiche: alle Zahlen zwischen 2 und 5, alle Werte größer als 0 oder alle erlaubten Lösungen. Genau dafür nutzt du Intervalle.
- Ich kann erklären, was ein Intervall ist.
- Ich kann offene und geschlossene Grenzen unterscheiden.
- Ich kann Intervalle auf der Zahlengeraden deuten.
- Ich kann einfache Ungleichungen als Intervall schreiben.
Zahlenbereiche statt Einzelzahlen
Ein Intervall fasst zusammenhängende Zahlen auf der Zahlengeraden zusammen. Zusammenhängend heißt: Wenn zwei Zahlen dazugehören, liegen auch alle Zahlen dazwischen im Intervall.
Intervall
Ein Intervall ist ein zusammenhängender Bereich von Zahlen. Es kann begrenzt sein, zum Beispiel \([2;5]\), oder unbegrenzt, zum Beispiel \([3;\infty)\).
\([2;5]\) bedeutet: Alle Zahlen von 2 bis 5 gehören dazu, auch 2 und 5 selbst. Also gehören 2, 3, 4, 5 und auch 2,7 dazu.
Ein Intervall enthält meistens unendlich viele Zahlen, auch wenn seine Grenzen endlich aussehen.
Offen und geschlossen
Klammern zeigen, ob die Randzahlen dazugehören. Eine eckige Klammer bedeutet: Rand gehört dazu. Eine runde Klammer bedeutet: Rand gehört nicht dazu.
Offenes und geschlossenes Intervall
Bei einem geschlossenen Intervall wie \([a;b]\) gehören beide Grenzen dazu. Bei einem offenen Intervall wie \((a;b)\) gehören beide Grenzen nicht dazu. Mischformen wie \([a;b)\) sind möglich.
Vergleiche \([1;4)\).
- 1 gehört dazu, weil links eine eckige Klammer steht.
- 4 gehört nicht dazu, weil rechts eine runde Klammer steht.
- 3,5 gehört dazu, weil es zwischen 1 und 4 liegt.
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Ungleichungen übersetzen
Intervalle und Ungleichungen beschreiben oft dieselbe Menge. Du kannst zwischen beiden Schreibweisen wechseln.
Schreibe \(x\ge -2\) und \(x<3\) als Intervall.
- Die Zahlen starten bei \(-2\).
- \(-2\) gehört dazu, weil \(\ge\) erlaubt ist.
- Die Zahlen gehen bis 3.
- 3 gehört nicht dazu, weil \(<\) streng ist.
- Intervall: \([-2;3)\).
Für unendlich nutzt man immer eine runde Klammer, weil \(\infty\) keine erreichbare Zahl ist.
Prüfungsmodus
Achte auf die Zeichen: kleiner gleich und größer gleich bedeuten geschlossene Grenze. Streng kleiner und streng größer bedeuten offene Grenze.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Intervalle beschreiben zusammenhängende Zahlenbereiche. Eckige Klammern schließen Grenzen ein, runde Klammern schließen sie aus. Ungleichungen kannst du in Intervalle übersetzen, indem du auf die Randzeichen achtest.