Mit Google fortfahren
Ungleichungen lösen: Regeln und Beispiele
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit $<$, $>$, $\le$ oder $\ge$. Du formst sie fast wie eine Gleichung um. Der entscheidende Unterschied: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Das Ergebnis ist meist eine ganze Menge von Zahlen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was eine Ungleichung aussagt
Bei einer Gleichung suchst du Werte, für die zwei Terme gleich sind. Eine Ungleichung fragt dagegen, wann ein Term kleiner oder größer als ein anderer ist.
Ungleichung
Eine Ungleichung verbindet zwei Terme durch eines der Zeichen $<$, $>$, $\le$ oder $\ge$. Eine Zahl gehört zur Lösungsmenge, wenn sie beim Einsetzen eine wahre Aussage erzeugt.
- $x<4$: $x$ ist kleiner als $4$; die Grenze $4$ gehört nicht dazu.
- $x\le4$: $x$ ist kleiner oder gleich $4$; die Grenze $4$ gehört dazu.
- $x>4$: $x$ ist größer als $4$; die Grenze $4$ gehört nicht dazu.
- $x\ge4$: $x$ ist größer oder gleich $4$; die Grenze $4$ gehört dazu.
Prüfe $x=3$ und $x=5$ für $2x+1<9$.
Für $x=3$ gilt $2\cdot3+1=7$ und damit $7<9$. Also ist $3$ eine Lösung.
Für $x=5$ gilt $2\cdot5+1=11$ und damit $11<9$. Diese Aussage ist falsch, also ist $5$ keine Lösung.
Lineare Ungleichungen Schritt für Schritt lösen
Eine lineare Ungleichung enthält die Variable nur in der ersten Potenz. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Du darfst auch beide Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren. So bleibt die Lösungsmenge erhalten, wenn du bei negativen Faktoren zusätzlich das Zeichen umdrehst.
Löse $3x-8<7$.
- Addiere auf beiden Seiten $8$: $3x<15$.
- Dividiere beide Seiten durch die positive Zahl $3$: $x<5$.
- Prüfe einen passenden Wert: Für $x=4$ gilt $3\cdot4-8=4<7$.
- Prüfe einen unpassenden Wert: Für $x=6$ gilt $3\cdot6-8=10<7$; das ist falsch.
Die Lösungsmenge ist
$$L=\{x\in\mathbb{R}\mid x<5\}.$$
Vereinfache zuerst beide Seiten. Sammle dann die Variablenterme auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen. Isoliere zuletzt die Variable und notiere die Lösungsmenge.
Warum sich das Zeichen bei negativen Zahlen umdreht
Auf der Zahlengeraden gilt $2<5$. Multiplizierst du beide Zahlen mit $-1$, erhältst du $-2$ und $-5$. Nun liegt $-2$ rechts von $-5$, also gilt $-2>-5$. Die Reihenfolge kehrt sich um.
Inversionsregel
Wenn du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, drehst du das Ungleichheitszeichen um: Aus $<$ wird $>$, aus $\le$ wird $\ge$ und umgekehrt.
Löse $12-4x\ge20$.
- Subtrahiere $12$: $-4x\ge8$.
- Dividiere durch $-4$. Weil der Divisor negativ ist, wird aus $\ge$ das Zeichen $\le$:
$$x\le-2.$$
Kontrolle mit dem Grenzwert: Für $x=-2$ gilt $12-4\cdot(-2)=20$. Wegen $\ge$ ist die Gleichheit erlaubt.
Kontrolle mit $x=-3$: $12-4\cdot(-3)=24\ge20$. Auch $-3$ ist eine Lösung.
Grenzen, Grundmenge und Sonderfälle prüfen
Nach dem Umformen prüfst du drei Dinge: Gehört der Grenzwert dazu? Welche Grundmenge ist vorgegeben? Bleibt überhaupt eine Bedingung für die Variable übrig?
Bei $<$ und $>$ ist der Grenzwert ausgeschlossen. Bei $\le$ und $\ge$ ist er eingeschlossen. Ist die Grundmenge zum Beispiel $\mathbb{Z}$, zählen nur ganze Lösungen; bei $\mathbb{N}$ nur die im Unterricht verwendeten natürlichen Zahlen.
Manchmal verschwindet die Variable vollständig:
- $2x+3<2x+7$ wird zu $3<7$. Das ist immer wahr, also lösen alle Zahlen der Grundmenge die Ungleichung.
- $5x-1>5x+2$ wird zu $-1>2$. Das ist immer falsch, also ist die Lösungsmenge leer.
Einfache quadratische Ungleichungen lösen
Bei einer quadratischen Ungleichung kommt $x^2$ vor. Statt nur eine Grenze zu erhalten, können zwei Grenzstellen entstehen. Sie teilen die Zahlengerade in Bereiche, die du mit Testwerten untersuchst.
Löse $x^2+3x+5<15$.
- Bringe alles auf eine Seite:
$$x^2+3x-10<0.$$
- Bestimme die Grenzstellen mit der zugehörigen Gleichung:
$$x^2+3x-10=0.$$
Da $x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$ gilt, sind die Grenzstellen $-5$ und $2$.
- Prüfe die drei Bereiche. Für $x=0$ zwischen den Grenzen ist $(0+5)(0-2)=-10<0$. Für $x=-6$ links davon ist $(-1)(-8)=8>0$. Für $x=3$ rechts davon ist $(8)(1)=8>0$.
Nur der Bereich zwischen den Grenzstellen erfüllt die Ungleichung. Weil das Zeichen strikt $<$ ist, gehören die Grenzen nicht dazu:
$$L=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-5\text{ und }x<2\}.$$
Grenzgleichung lösen, Zahlengerade in Bereiche teilen, je einen Testwert einsetzen und erst dann die passenden Bereiche auswählen. Bei $\le$ oder $\ge$ gehören erfüllende Grenzstellen dazu.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ungleichungen lösen
- Bedeutung: Zwei Terme werden geordnet verglichen
- Umformen: Auf beiden Seiten gleich handeln
- Negative Faktoren: Ungleichheitszeichen umdrehen
- Lösungsmenge: Grenze und Grundmenge beachten
- Sonderfälle: Alle Werte oder keine Lösung
- Quadratische Terme: Grenzstellen und Testbereiche prüfen