Mit Google fortfahren
Äquivalenzumformung: Gleichungen sicher lösen
Eine Äquivalenzumformung verändert das Aussehen einer Gleichung, aber nicht ihre Lösungsmenge. Dafür führst du auf beiden Seiten dieselbe zulässige und umkehrbare Rechenoperation aus. So kannst du die Variable Schritt für Schritt isolieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum bleibt die Gleichung im Gleichgewicht?
Stell dir eine Gleichung wie eine Waage vor: Links und rechts liegt derselbe Wert. Nimmst du auf beiden Seiten dasselbe Gewicht weg, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Veränderst du nur eine Seite, geht die Gleichheit verloren.
Äquivalenzumformung
Eine Äquivalenzumformung führt von einer Gleichung zu einer Gleichung mit genau derselben Lösungsmenge. Die beiden Gleichungen sind äquivalent.
Zum Beispiel gilt:
$$x+5=7 \iff x=2$$
Das Zeichen $\iff$ bedeutet „genau dann, wenn“. Beide Gleichungen werden für denselben Wert wahr: $x=2$.
Erlaubt sind insbesondere:
- auf beiden Seiten denselben Term addieren;
- auf beiden Seiten denselben Term subtrahieren;
- beide Seiten mit derselben Zahl ungleich $0$ multiplizieren;
- beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich $0$ dividieren.
Der senkrechte Strich zeigt, welche Operation anschließend auf beiden Seiten ausgeführt wird.
Was du auf der einen Seite einer Gleichung rechnest, musst du auch auf der anderen Seite rechnen. Durch $0$ darfst du niemals dividieren.
Wie löst du eine Gleichung Schritt für Schritt?
Dein Ziel ist eine Gleichung der Form $x=\text{Zahl}$. Wähle dazu jeweils die Gegenoperation zu dem Rechenschritt, der die Variable noch bindet.
Ein zuverlässiger Ablauf ist:
- Klammern auflösen und gleichartige Terme zusammenfassen.
- Zahlen ohne Variable auf einer Seite sammeln.
- Variablenterme auf der anderen Seite sammeln.
- Durch den von $0$ verschiedenen Koeffizienten vor der Variable dividieren.
- Das Ergebnis mit einer Probe prüfen.
Löse $3x+2=11$.
Zuerst entfernst du die Addition von $2$:
$$3x+2=11 \quad |-2$$
$$3x=9$$
Nun beseitigst du den Faktor $3$:
$$3x=9 \quad |:3$$
$$x=3$$
Die Lösungsmenge ist $L=\{3\}$.
Probe: Setze $x=3$ in die Ausgangsgleichung ein:
$$3\cdot3+2=11$$
$$11=11$$
Die wahre Aussage bestätigt die Lösung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer Äquivalenzumformung führst du auf beiden Seiten Operation aus. Ein Multiplikator oder Divisor muss sein. Beim Lösen möchtest du die Variable schließlich .
Wie gehst du mit Klammern und mehreren Variablentermen um?
Kommt die Variable mehrfach vor, vereinfachst du zuerst beide Seiten. Danach sammelst du alle Variablenterme auf einer Seite.
Löse $3(x-2)=x+8$.
Zuerst löst du die Klammer auf:
$$3x-6=x+8$$
Bringe die Variablenterme auf die linke Seite:
$$3x-6=x+8 \quad |-x$$
$$2x-6=8$$
Bringe die Zahl auf die rechte Seite:
$$2x-6=8 \quad |+6$$
$$2x=14$$
Teile beide Seiten durch $2$:
$$2x=14 \quad |:2$$
$$x=7$$
Probe: Links ergibt sich $3(7-2)=15$, rechts $7+8=15$. Daher ist $L=\{7\}$.
Es gibt oft mehrere richtige Rechenwege. Entscheidend ist nicht die Reihenfolge einzelner zulässiger Schritte, sondern dass du jede Operation auf beiden Seiten ausführst und am Ende dieselbe Lösungsmenge erhältst.
Woran erkennst du eine, keine oder unendlich viele Lösungen?
Beim Umformen einer linearen Gleichung kann die Variable erhalten bleiben oder vollständig verschwinden. Das Ergebnis verrät dir die Lösungsmenge.
Genau eine Lösung
Bleibt eine Aussage wie $x=3$, gibt es genau eine Lösung: $L=\{3\}$.
Unendlich viele Lösungen
Betrachte:
$$2(x+3)=2x+6$$
Nach dem Ausmultiplizieren steht auf beiden Seiten $2x+6$. Subtrahierst du diesen Term beidseitig, erhältst du:
$$0=0$$
Diese Aussage ist immer wahr. Jeder Wert aus dem zugrunde gelegten Zahlenbereich löst die Gleichung.
Keine Lösung
Betrachte dagegen:
$$2(x+3)=2x+5$$
Nach dem Ausmultiplizieren und Subtrahieren von $2x$ bleibt:
$$6=5$$
Diese Aussage ist falsch. Daher besitzt die Gleichung keine Lösung: $L=\{\}$.
Verschwindet die Variable, prüfe die verbleibende Aussage: Eine immer wahre Aussage bedeutet unendlich viele Lösungen, eine falsche Aussage bedeutet keine Lösung.
Welche Umformungen brauchen besondere Vorsicht?
Nicht jede beidseitige Rechenoperation ist automatisch eine Äquivalenzumformung. Sie muss auch zulässig und umkehrbar sein.
Variable Divisoren
Willst du durch einen Term wie $x-1$ dividieren, musst du zuerst beachten, dass dieser Term für $x=1$ den Wert $0$ hat. Eine Division ohne Fallprüfung könnte deshalb eine Lösung verlieren oder einen unzulässigen Schritt enthalten.
Bei Bruchgleichungen gehören alle Werte, die einen Nenner zu $0$ machen, nicht zur Definitionsmenge.
Quadrieren
Quadrieren ist auf den reellen Zahlen nicht umkehrbar, weil $2$ und $-2$ beide dasselbe Quadrat besitzen. Deshalb gilt zwar:
$$x=2 \Rightarrow x^2=4$$
Aber die umgekehrte Richtung gilt nicht, denn $x^2=4$ hat die Lösungen $2$ und $-2$. Ohne eine passende Einschränkung ist Quadrieren daher keine Äquivalenzumformung.
Vertiefung: Ungleichungen
Bei Ungleichungen darfst du ebenfalls auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation ausführen. Multiplizierst oder dividierst du jedoch mit einer negativen Zahl, musst du das Vergleichszeichen umdrehen:
$$-2x<6 \quad |:(-2)$$
$$x>-3$$
Ist das Vorzeichen eines Faktors unbekannt, brauchst du eine Fallunterscheidung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Äquivalenzumformung
- erhält die Lösungsmenge
- führt dieselbe Operation auf beiden Seiten aus
- nutzt umkehrbare Operationen
- isoliert die Variable
- endet mit einer Probe
- unterscheidet eine, keine oder unendlich viele Lösungen
- verbietet die Division durch 0
- kehrt bei negativen Faktoren einer Ungleichung das Vergleichszeichen um
Abschluss-Check
Du kannst eine Gleichung sicher lösen, wenn du jeden Schritt auf beiden Seiten ausführst, verbotene Divisionen vermeidest und das Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung prüfst.