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Lösungsmenge bestimmen und richtig angeben
Die Lösungsmenge enthält genau die zulässigen Werte, die eine Gleichung beim Einsetzen wahr machen. Dabei zählt ein rechnerisch gefundener Wert nur, wenn er zur vorgegebenen Definitionsmenge gehört.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Werte gehören zur Lösungsmenge?
Eine Gleichung wie $3+x=7$ ist eine Aussage mit einer Variablen. Setzt du $x=4$ ein, entsteht $3+4=7$. Diese Aussage ist wahr. Deshalb ist $4$ eine Lösung.
Lösungsmenge
Die Lösungsmenge $L$ enthält alle Werte aus der Definitionsmenge $D$, die beim Einsetzen eine wahre Aussage ergeben. Es gilt also immer: Jeder Wert aus $L$ muss auch zu $D$ gehören.
Enthält die Lösungsmenge genau einen Wert, schreibst du ihn in geschweifte Klammern. Für das Beispiel gilt $L=\{4\}$.
Prüfe für $x^2=1$ die Werte $-1$, $0$ und $1$:
- Für $x=-1$ gilt $(-1)^2=1$. Die Aussage ist wahr.
- Für $x=0$ gilt $0^2=1$. Die Aussage ist falsch.
- Für $x=1$ gilt $1^2=1$. Die Aussage ist wahr.
Sind alle reellen Zahlen zugelassen, lautet die Lösungsmenge $L=\{-1;1\}$.
Warum entscheidet die Definitionsmenge mit?
Die Definitionsmenge $D$ legt fest, welche Zahlen überhaupt als Lösungen zugelassen sind. Häufig verwendete Zahlenmengen sind:
- $\mathbb N$: natürliche Zahlen,
- $\mathbb Z$: ganze Zahlen,
- $\mathbb Q$: rationale Zahlen, also Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lassen,
- $\mathbb R$: reelle Zahlen.
Betrachte $2x=-3$. Durch Division beider Seiten durch $2$ erhältst du $x=-\frac{3}{2}=-1{,}5$.
- Bei $D=\mathbb N$ ist $-1{,}5$ nicht zugelassen. Daher gilt $L=\emptyset$.
- Bei $D=\mathbb Q$ oder $D=\mathbb R$ ist $-1{,}5$ zugelassen. Daher gilt $L=\left\{-\frac{3}{2}\right\}$.
$\emptyset$ bezeichnet die leere Menge: Es gibt innerhalb der vorgegebenen Definitionsmenge keine Lösung.
Erst löst du die Gleichung. Danach prüfst du, ob der gefundene Wert in der Definitionsmenge liegt. Ein richtiger Rechenwert kann wegen $D$ trotzdem ausgeschlossen sein.
Wie bestimmst du eine Lösungsmenge?
Bei einer linearen Gleichung formst du beide Seiten mit derselben Operation um, bis die Variable allein steht. Dadurch bleibt die Gleichheit erhalten.
Bestimme die Lösungsmenge von $3+x=2+5$.
- Fasse die rechte Seite zusammen: $3+x=7$.
- Subtrahiere auf beiden Seiten $3$: $3-3+x=7-3$.
- Vereinfache: $x=4$.
- Prüfe durch Einsetzen: $3+4=2+5$, also $7=7$. Die Probe ist wahr.
- Notiere das Ergebnis: $L=\{4\}$.
Der entscheidende Schritt ist die gleiche Subtraktion auf beiden Seiten. So bleibt die Gleichung im Gleichgewicht.
Gehe bei einfachen Gleichungen in dieser Reihenfolge vor:
- Bestimme oder beachte die Definitionsmenge.
- Forme die Gleichung auf beiden Seiten gleich um.
- Prüfe den gefundenen Wert auf Zugehörigkeit zu $D$.
- Mache die Probe durch Einsetzen.
- Schreibe die Lösungsmenge mit der passenden Mengenschreibweise auf.
Welche Formen kann eine Lösungsmenge haben?
Eine Gleichung kann keine, einige oder alle zugelassenen Werte als Lösungen haben.
Keine Lösung: unlösbar
Wenn kein Wert aus $D$ die Gleichung erfüllt, gilt $L=\emptyset$. Beispiel: Für $x+3=2$ und $D=\mathbb N$ wäre der nötige Wert $-1$ nicht zugelassen.
Einige Lösungen: teilgültig
Wenn mindestens ein, aber nicht jedes Element aus $D$ die Gleichung erfüllt, ist sie teilgültig. Dann gilt $\emptyset\ne L\ne D$. Für $x^2=1$ und $D=\mathbb R$ ist $L=\{-1;1\}$.
Alle Werte: allgemeingültig
Wenn jedes Element aus $D$ eine wahre Aussage ergibt, ist die Gleichung allgemeingültig. Dann gilt $L=D$. Bei $2x+x=3x$ ist das für alle reellen Zahlen der Fall, also gilt bei $D=\mathbb R$: $L=\mathbb R$.
Unendlich viele, aber nicht alle Werte
Eine unendliche Lösungsmenge kann auch durch eine Bedingung beschrieben werden. Beim Betrag $|x|$ zählt nur der Abstand von $x$ zu $0$; er ist nie negativ. Deshalb gilt für $x=|x|$ bei $D=\mathbb R$:
$L=\{x\mid x\ge 0\}$.
Das liest du als: „Die Menge aller $x$, für die $x$ größer oder gleich $0$ ist.“
Wie vermeidest du typische Fehler?
Drei Prüfungen schützen dich vor den häufigsten Fehlern:
- Definitionsmenge beachten: Ein Wert kann die Gleichung erfüllen und trotzdem nicht zugelassen sein.
- Mengenklammern verwenden: $x=4$ ist das Rechenergebnis; $L=\{4\}$ ist die Lösungsmenge.
- Leere Menge nicht mit Null verwechseln: $L=\emptyset$ bedeutet „keine Lösung“. $L=\{0\}$ bedeutet „genau eine Lösung, nämlich $0$“.
Auch $L=D$ bedeutet nicht „keine Einschränkung beim Rechnen“, sondern eine klare Aussage: Jeder Wert der festgelegten Definitionsmenge erfüllt die Gleichung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lösungsmenge $L$
- enthält nur Werte aus der Definitionsmenge $D$
- enthält genau die Werte, die die Gleichung erfüllen
- kann leer sein, einen Teil von $D$ enthalten oder gleich $D$ sein
- Bestimmungsweg
- Gleichung auf beiden Seiten gleich umformen
- Zugehörigkeit zu $D$ prüfen
- Probe machen und Menge notieren
- Notation
- keine Lösung: $L=\emptyset$
- einzelne Lösungen: zum Beispiel $L=\{-1;1\}$
- alle zugelassenen Werte: $L=D$