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Gleichungen verstehen und sicher lösen
Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Beim Lösen suchst du Werte für die Variable, bei denen beide Seiten denselben Wert haben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet eine Gleichung?
Stell dir zwei Seiten einer Waage vor: Das Gleichheitszeichen sagt, dass links und rechts derselbe Wert steht.
Gleichung
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Sie kann eine oder mehrere Variablen enthalten.
In $2x+1=7$ ist $x$ die Variable. Setzt du $x=3$ ein, erhältst du links $2\cdot3+1=7$. Damit stimmt die linke Seite mit der rechten überein.
Lösung
Ein Variablenwert ist eine Lösung, wenn sein Einsetzen die Gleichung in eine wahre Aussage verwandelt. Die Lösungen werden in einer Lösungsmenge gesammelt. Hier gilt $L=\{3\}$.
Du kannst bei einer einfachen Gleichung Werte ausprobieren. Systematisches Umformen ist bei schwierigeren Gleichungen jedoch schneller und zuverlässiger.
Woran erkennst du den Grad?
Der Grad richtet sich nach der höchsten Potenz der Variablen.
- $3x+4=4(x-9)$ ist linear, also vom 1. Grad. Die höchste Potenz ist $x$.
- $3x^2+7x-1=4$ ist quadratisch, also vom 2. Grad.
- $5x^3+125=x^2-7$ ist kubisch, also vom 3. Grad.
Auf dieser Seite löst du lineare Gleichungen. In ihnen kommt die Variable höchstens in der ersten Potenz vor.
Linear bedeutet: Die höchste auftretende Potenz der Variablen ist $1$.
Wie halten Äquivalenzumformungen das Gleichgewicht?
Eine Äquivalenzumformung verändert die Form einer Gleichung, aber nicht ihre Lösungen. Dazu führst du auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation aus.
Du darfst insbesondere:
- auf beiden Seiten denselben Term addieren oder subtrahieren;
- beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren;
- beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null dividieren.
Durch null darfst du nicht dividieren.
Löse $4x-3=9x+22$.
Zuerst addierst du auf beiden Seiten $3$:
$$4x=9x+25$$
Dann subtrahierst du auf beiden Seiten $9x$:
$$-5x=25$$
Nun dividierst du beide Seiten durch $-5$:
$$x=-5$$
Damit ist $L=\{-5\}$.
Was du auf der einen Seite einer Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite tun.
Wie löst du lineare Gleichungen Schritt für Schritt?
Nutze diese Reihenfolge als Entscheidungshilfe:
- Löse vorhandene Klammern auf.
- Fasse gleichartige Terme auf jeder Seite zusammen.
- Bringe alle Variablenterme auf eine Seite.
- Bringe alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite.
- Teile beide Seiten durch den Koeffizienten der Variablen.
- Notiere die Lösungsmenge und prüfe die Lösung.
Löse $3(x-2)=x+8$.
Zuerst löst du die Klammer auf:
$$3x-6=x+8$$
Dann subtrahierst du auf beiden Seiten $x$:
$$2x-6=8$$
Addiere auf beiden Seiten $6$:
$$2x=14$$
Teile beide Seiten durch $2$:
$$x=7$$
Also gilt $L=\{7\}$.
Wie gehst du mit Brüchen um und machst die Probe?
Bruchkoeffizienten ändern das Verfahren nicht. Du fasst die Koeffizienten sorgfältig zusammen und rechnest möglichst lange mit exakten Brüchen.
Löse $2x-14=\frac12x+3$.
Subtrahiere auf beiden Seiten $\frac12x$:
$$\frac32x-14=3$$
Addiere auf beiden Seiten $14$:
$$\frac32x=17$$
Multipliziere beide Seiten mit $\frac23$:
$$x=\frac{34}{3}$$
Damit gilt $L=\left\{\frac{34}{3}\right\}$.
Für die Probe setzt du $x=\frac{34}{3}$ in beide Seiten ein:
$$2\cdot\frac{34}{3}-14=\frac{26}{3}$$
$$\frac12\cdot\frac{34}{3}+3=\frac{26}{3}$$
Beide Seiten ergeben denselben Wert. Die Lösung stimmt.
Eine Probe bestätigt eine Lösung nur dann, wenn nach dem Einsetzen beide Seiten denselben Wert ergeben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gleichungen lösen
- Bedeutung: Zwei Terme besitzen denselben Wert
- Lösung: Einsetzen ergibt eine wahre Aussage
- Grad: höchste Potenz der Variablen
- Lineares Verfahren: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen
- Äquivalenzumformung: beide Seiten gleich behandeln
- Ziel: Variable isolieren und Lösungsmenge notieren
- Kontrolle: Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen
Abschluss-Check
Wenn du die Aufgaben lösen und deine Entscheidungen begründen kannst, kannst du lineare Gleichungen erkennen, systematisch lösen und deine Ergebnisse prüfen.