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Wenn eine Aufgabe ein unbekanntes x enthält, wirkt sie schnell wie ein Rätsel. Eine Gleichung zeigt dir aber nur: Links und rechts steht derselbe Wert. Nach dieser Seite kannst du einfache Gleichungen ordnen, umformen und mit einer Probe prüfen.
- Ich kann erklären, was eine Gleichung ist.
- Ich kann Äquivalenzumformungen sicher anwenden.
- Ich kann lineare Gleichungen mit `x` auf beiden Seiten lösen.
- Ich kann aus einem Text eine Gleichung aufstellen.
- Ich kann eine Lösung mit der Probe kontrollieren.
Grundidee
Stell dir eine Waage vor: Wenn du links etwas wegnimmst, musst du rechts dasselbe tun. Genau so bleibt eine Gleichung richtig.
Gleichung
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen. Eine Lösung ist eine Zahl für die Variable, durch die beide Seiten denselben Wert haben.
Beim Lösen willst du die Variable allein auf eine Seite bringen. Erlaubt sind Rechenschritte, die du auf beiden Seiten gleichzeitig machst. Diese Schritte heißen Äquivalenzumformungen, weil sie die Lösungsmenge nicht verändern.
Löse \(3x - 7 = 11\).
- Addiere auf beiden Seiten 7: \(3x = 18\).
- Teile beide Seiten durch 3: \(x = 6\).
- Probe: \(3\cdot 6 - 7 = 18 - 7 = 11\).
Die Lösung ist \(x=6\).
Was du auf einer Seite machst, machst du auch auf der anderen Seite. Erst Terme ordnen, dann nach der Variable auflösen, dann Probe.
Vorgehen
Wenn x auf beiden Seiten vorkommt, sammle zuerst alle x-Terme auf einer Seite und alle Zahlen auf der anderen. Danach löst du wie bei einer einfachen Gleichung.
Löse \(5x + 4 = 2x + 19\).
- Subtrahiere \(2x\): \(3x + 4 = 19\).
- Subtrahiere 4: \(3x = 15\).
- Teile durch 3: \(x = 5\).
- Probe: Links \(25+4=29\), rechts \(10+19=29\).
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Prüfungsmodus
In Klassenarbeiten erkennst du Gleichungen oft in Textaufgaben. Lege zuerst fest, wofür x steht, schreibe einen Term für jede Information und löse erst danach. Achte darauf, ob nach x selbst oder nach einer daraus berechneten Größe gefragt ist.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Gleichungen löst du wie ein Gleichgewicht. Du machst gleiche Umformungen auf beiden Seiten, isolierst die Variable und prüfst die Lösung durch Einsetzen.