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Wenn in einer Textaufgabe eine unbekannte Zahl gesucht ist, hilft dir oft eine Gleichung. Bei linearen Gleichungen lernst du, diese unbekannte Zahl systematisch freizulegen.
- Ich kann das Thema Lineare Gleichungen in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Eine Gleichung ist wie eine Waage: Links und rechts muss immer gleich viel stehen. Bei einer linearen Gleichung kommt die Variable nur in der ersten Potenz vor, zum Beispiel \(3x+5=20\). Dein Ziel ist, die Variable allein auf eine Seite zu bringen.
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung mit einer Variablen lässt sich durch erlaubte Umformungen in die Form \(ax=b\) bringen. Dabei gilt meistens \(a \neq 0\); dann gibt es genau eine Lösung.
Was du auf einer Seite machst, musst du auf der anderen Seite genauso machen.
Schritt für Schritt
Löse zuerst Klammern auf und fasse gleichartige Terme zusammen. Danach bringst du alle Terme mit Variable auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Zum Schluss teilst du durch den Faktor vor der Variablen.
Löse \(3x+7=22\).
- Subtrahiere 7 auf beiden Seiten: \(3x=15\).
- Teile durch 3: \(x=5\).
- Probe: \(3\cdot5+7=15+7=22\).
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Typische Fehler vermeiden
Viele Fehler entstehen, wenn nur eine Seite umgeformt wird oder wenn Vorzeichen beim Seitenwechsel verloren gehen. Schreibe deshalb jede Umformung bewusst auf. Wenn am Ende \(0=0\) steht, sind alle Zahlen Lösung; wenn zum Beispiel \(0=5\) steht, gibt es keine Lösung.
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Prüfungsmodus
In Klassenarbeiten kommen oft gemischte Formen vor: Klammern, Variablen auf beiden Seiten oder eine Textaufgabe. Entscheide zuerst, ob du noch vereinfachen musst. Rechne danach sauber und mache immer eine Probe.
Löse \(2(x+4)=3x-1\).
- Klammer auflösen: \(2x+8=3x-1\).
- Subtrahiere \(2x\): \(8=x-1\).
- Addiere 1: \(x=9\).
- Probe: \(2(9+4)=26\) und \(3\cdot9-1=26\).
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Lineare Gleichungen löst du durch Äquivalenzumformungen. Bleibt die Waage-Idee erhalten und machst du am Ende eine Probe, findest du zuverlässig die richtige Lösungsmenge.