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Lineare Gleichungen lösen: Schritt für Schritt
Eine lineare Gleichung löst du, indem du auf beiden Seiten immer dieselbe erlaubte Rechenoperation ausführst, bis die Variable allein steht. Danach prüfst du die Lösung durch Einsetzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine lineare Gleichung?
Eine Gleichung behauptet, dass ihr linker und ihr rechter Term denselben Wert haben. Ein Term ist ein Rechenausdruck wie $3x-1$. Die Variable, zum Beispiel $x$, steht für eine noch unbekannte Zahl.
Lineare Gleichung
Eine Gleichung ist linear, wenn sie sich in die Form $ax+b=0$ bringen lässt. Dabei sind $a$ und $b$ Zahlen und $a\neq 0$. Die Variable kommt nur in der ersten Potenz vor: also $x$, nicht $x^2$ oder $x^3$.
Beispiele für lineare Gleichungen sind $3x-1=8$ und $5x=10$. Die Gleichung $7x^2=5$ ist nicht linear, weil sie $x^2$ enthält.
Warum bleiben beide Seiten im Gleichgewicht?
Stell dir eine Gleichung wie eine Waage vor. Veränderst du nur eine Seite, stimmt die Gleichheit meist nicht mehr. Deshalb führst du bei einer Äquivalenzumformung auf beiden Seiten dieselbe Operation aus. Die neue Gleichung hat dann dieselbe Lösung wie die alte.
Erlaubt ist:
- auf beiden Seiten denselben Term addieren oder subtrahieren;
- beide Seiten mit derselben Zahl ungleich $0$ multiplizieren;
- beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich $0$ dividieren.
Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun. Durch $0$ darfst du nie teilen.
Wie löst du eine Gleichung systematisch?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Löse Klammern auf, wenn das den Rechenweg vereinfacht.
- Fasse gleichartige Terme auf jeder Seite zusammen.
- Bringe alle Variablenterme auf eine Seite und alle Zahlen ohne Variable auf die andere.
- Teile durch den Koeffizienten, also die Zahl vor der Variable.
- Setze die Lösung zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.
Löse $3x-1=8$.
Addiere zuerst auf beiden Seiten $1$:
$$3x=9$$
Teile dann beide Seiten durch $3$:
$$x=3$$
Probe mit $x=3$:
$$3\cdot 3-1=8$$
Links entsteht $8$, rechts steht $8$. Die Lösung stimmt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer Äquivalenzumformung führst du auf beiden Seiten die Operation aus. Variablenterme sammelst du auf Seite. Am Ende prüfst du die Lösung durch in die Ausgangsgleichung.
Wie gehst du mit beiden Seiten und Klammern um?
Steht die Variable auf beiden Seiten, entfernst du einen Variablenterm durch dieselbe Addition oder Subtraktion auf beiden Seiten.
Löse $2x+4=4x-2$.
Subtrahiere auf beiden Seiten $2x$:
$$4=2x-2$$
Addiere auf beiden Seiten $2$:
$$6=2x$$
Teile durch $2$:
$$x=3$$
Die Variablenterme hätten auch zuerst auf die linke Seite gebracht werden können. Zulässige Rechenwege können verschieden aussehen und trotzdem zur gleichen Lösung führen.
Bei einer Klammer kannst du ausmultiplizieren. Manchmal ist es kürzer, zuerst durch einen gemeinsamen äußeren Faktor zu teilen.
Löse $3(10x-20)=30$.
Teile beide Seiten zuerst durch $3$:
$$10x-20=10$$
Addiere auf beiden Seiten $20$ und teile danach durch $10$:
$$10x=30$$
$$x=3$$
Alternativ könntest du zuerst ausmultiplizieren. Beide Wege sind korrekt.
Kannst du den Lösungsweg selbst anwenden?
Löse nun $3(x-2)=x+8$. Entscheide zuerst, welcher Schritt die Klammer entfernt.
Wenn deine Probe zwei verschiedene Werte ergibt, ist nicht automatisch die Ausgangsgleichung falsch. Gehe deinen Rechenweg rückwärts durch: Wurde auf beiden Seiten gleich gerechnet? Wurde jedes Glied einer Klammer multipliziert? Stimmt die Division durch den Koeffizienten?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lineare Gleichungen lösen
- erkennen: Variable nur in erster Potenz
- Gleichgewicht halten: auf beiden Seiten gleich rechnen
- vereinfachen: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen
- isolieren: Variablen und Zahlen trennen
- abschließen: durch den Koeffizienten teilen
- kontrollieren: Lösung einsetzen