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Formeln umstellen: Regeln, Beispiele und Übungen
Eine Formel umzustellen bedeutet: Du schreibst denselben Zusammenhang so um, dass die gesuchte Variable allein steht. Dabei führst du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer dieselbe Operation aus.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum bleibt die Formel im Gleichgewicht?
Stell dir das Gleichheitszeichen wie eine Waage vor. Beide Seiten haben denselben Wert. Addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst du auf beiden Seiten gleich, bleibt die Waage im Gleichgewicht.
Äquivalenzumformung
Eine Äquivalenzumformung verändert die Schreibweise einer Gleichung, aber nicht ihre Aussage. Dazu wird auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation ausgeführt.
Die passende Umkehroperation heißt Gegenoperation:
- Addition wird durch Subtraktion rückgängig gemacht.
- Subtraktion wird durch Addition rückgängig gemacht.
- Multiplikation wird durch Division rückgängig gemacht.
- Division wird durch Multiplikation rückgängig gemacht.
- Quadrieren wird durch Wurzelziehen rückgängig gemacht.
Terme werden nicht einfach „auf die andere Seite geschoben“. Du führst eine Gegenoperation auf beiden Seiten aus.
So gehst du Schritt für Schritt vor
Nutze bei jeder Aufgabe denselben Ablauf:
- Bestimme die gesuchte Variable.
- Vereinfache die Formel bei Bedarf, zum Beispiel durch Auflösen einer Klammer.
- Entferne störende Rechenoperationen mit Gegenoperationen.
- Führe jeden Schritt auf beiden Seiten aus.
- Setze erst danach Zahlen und Einheiten ein.
- Prüfe das Ergebnis in der Ausgangsformel.
Die Rechteckformel $A=h\cdot b$ soll nach $h$ umgestellt werden.
$h$ wird mit $b$ multipliziert. Deshalb dividierst du beide Seiten durch $b$:
$$A=h\cdot b\quad |:b$$
$$\frac{A}{b}=h$$
Üblicher geschrieben:
$$h=\frac{A}{b}$$
Die Division ist nur für $b\neq 0$ erlaubt.
Formeln mit Klammern umstellen
Bei einer Klammer kannst du oft zuerst den äußeren Faktor entfernen. Danach isolierst du die Variable innerhalb der Klammer.
Der Umfang eines Rechtecks lautet $U=2(a+b)$. Gesucht ist $a$.
Zuerst teilst du beide Seiten durch 2:
$$U=2(a+b)\quad |:2$$
$$\frac{U}{2}=a+b$$
Danach subtrahierst du $b$ auf beiden Seiten:
$$\frac{U}{2}-b=a$$
Damit gilt:
$$a=\frac{U}{2}-b$$
Für $U=30\,\mathrm{cm}$ und $b=6\,\mathrm{cm}$ erhältst du:
$$a=\frac{30\,\mathrm{cm}}{2}-6\,\mathrm{cm}=9\,\mathrm{cm}$$
Probe: $2\cdot(9\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm})=30\,\mathrm{cm}$. Die Umstellung passt.
Eine Variable im Bruch isolieren
Steht die gesuchte Variable im Nenner, beseitigst du den Nenner zuerst durch Multiplikation. Danach kann ein weiterer Schritt nötig sein.
Gegeben ist die Geschwindigkeitsformel $v=\frac{s}{t}$. Gesucht ist die Zeit $t$.
Multipliziere zunächst beide Seiten mit $t$:
$$v=\frac{s}{t}\quad |\cdot t$$
$$v\cdot t=s$$
Teile nun beide Seiten durch $v$:
$$t=\frac{s}{v}$$
Für $s=30\,\mathrm{km}$ und $v=15\,\mathrm{km/h}$ gilt:
$$t=\frac{30\,\mathrm{km}}{15\,\mathrm{km/h}}=2\,\mathrm{h}$$
Die Kilometer kürzen sich. Als Einheit bleibt die Stunde. In der Ausgangsformel ergibt sich $30\,\mathrm{km}:2\,\mathrm{h}=15\,\mathrm{km/h}$.
Bei der Ausgangsformel $v=\frac{s}{t}$ muss $t\neq0$ gelten. Bei der Umstellung $t=\frac{s}{v}$ darf außerdem nicht durch $v=0$ dividiert werden.
Vertiefung: Quadrate und Wurzeln
Steht die gesuchte Variable im Quadrat, isolierst du zuerst das Quadrat. Danach ziehst du die Wurzel.
Die Kreisfläche lautet $A=\pi r^2$. Gesucht ist der Radius $r$.
Teile zunächst durch $\pi$:
$$\frac{A}{\pi}=r^2$$
Ziehe danach die Quadratwurzel:
$$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$
Für $A=49\pi\,\mathrm{cm^2}$ ergibt sich:
$$r=\sqrt{\frac{49\pi\,\mathrm{cm^2}}{\pi}}=7\,\mathrm{cm}$$
Beim Radius wird die positive Wurzel gewählt, weil eine Länge im Sachzusammenhang nicht negativ ist.
Beim Quadrieren können zusätzliche Lösungen entstehen. Prüfe mögliche Ergebnisse deshalb in der ursprünglichen Formel und beachte den Sachzusammenhang. Aus $x^2=9$ folgen ohne Sachkontext beispielsweise $x=3$ und $x=-3$.
Typische Fehler erkennen und vermeiden
Nur eine Seite verändern: Dadurch geht die Gleichheit verloren. Schreibe die Operation am Kommandostrich und führe sie auf beiden Seiten aus.
Die falsche Gegenoperation wählen: Ein Faktor wird durch Division entfernt, ein Summand durch Subtraktion.
Zu früh Zahlen einsetzen: Stelle möglichst zuerst symbolisch um. So bleibt der Zusammenhang übersichtlich und du kannst dieselbe Umstellung für verschiedene Werte verwenden.
Durch null teilen: Prüfe bei jeder Division, ob der Divisor null sein könnte.
Einheiten vergessen: Einheiten helfen bei der Kontrolle. Aus $\mathrm{N/kg}$ wird mit $1\,\mathrm N=1\,\mathrm{kg\cdot m/s^2}$ die Einheit $\mathrm{m/s^2}$.
Aus $F=m\cdot a$ soll $a$ bestimmt werden. Durch Division durch $m$ erhältst du $a=\frac{F}{m}$.
Mit $F=20\,\mathrm N$ und $m=10\,\mathrm{kg}$ gilt:
$$a=\frac{20\,\mathrm N}{10\,\mathrm{kg}}=2\,\mathrm{m/s^2}$$
Probe: $10\,\mathrm{kg}\cdot2\,\mathrm{m/s^2}=20\,\mathrm N$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Formeln umstellen
- Ziel: gesuchte Variable isolieren
- Grundregel: beide Seiten gleich verändern
- Werkzeug: passende Gegenoperation wählen
- Brüche: Nenner durch Multiplikation beseitigen
- Quadrate: Quadrat isolieren und Wurzel ziehen
- Sicherheit: nicht durch null teilen
- Anwendung: erst umstellen, dann Werte einsetzen
- Kontrolle: Einheiten und Ausgangsformel prüfen
Abschluss-Check
Wenn du alle vier Fragen begründen kannst, beherrschst du das Grundprinzip: Gesuchte Variable erkennen, Gegenoperationen auf beiden Seiten ausführen und das Ergebnis prüfen.