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Dezimalzahlen verstehen und sicher rechnen
Eine Dezimalzahl wie $12{,}45$ stellt eine Zahl mithilfe von Stellen vor und nach dem Komma dar. Rechts vom Komma stehen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere Stellenwerte.
Auf dieser Seite lernst du, Dezimalzahlen zu lesen, zu vergleichen, zu runden, in Brüche umzuwandeln und mit ihnen zu rechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Stellenwerte richtig lesen
Das Komma trennt den ganzzahligen Teil vom Nachkommateil. Eine Dezimalzahl kann kleiner oder größer als $1$ sein.
Dezimalzahl
Eine Dezimalzahl besteht aus Vorkommastellen, dem Komma und Nachkommastellen. Sie wird auch Kommazahl genannt.
Bei $12{,}345$ haben die Ziffern folgende Werte:
- $1$ steht für einen Zehner.
- $2$ steht für zwei Einer.
- $3$ steht für drei Zehntel.
- $4$ steht für vier Hundertstel.
- $5$ steht für fünf Tausendstel.
Damit gilt:
$12{,}345 = 12 + 3/10 + 4/100 + 5/1000$
In $7{,}08$ steht die $0$ an der Zehntelstelle und die $8$ an der Hundertstelstelle. Deshalb bedeutet die Zahl $7 + 8/100$ und nicht $7 + 8/10$.
Die erste Stelle rechts vom Komma bezeichnet Zehntel, die zweite Hundertstel und die dritte Tausendstel.
Dezimalzahlen vergleichen und runden
Beim Vergleichen liest du die Stellen von links nach rechts. Die erste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden, entscheidet.
Endnullen rechts vom Komma verändern den Wert nicht. Deshalb gilt zum Beispiel:
$0{,}3 = 0{,}30$
Vergleiche $0{,}3$ und $0{,}25$.
- Ergänze eine Endnull: $0{,}3 = 0{,}30$.
- Vergleiche die Zehntel: $3$ Zehntel sind mehr als $2$ Zehntel.
- Daher gilt $0{,}30 > 0{,}25$.
Also ist $0{,}3$ größer als $0{,}25$.
Beim Runden legst du fest, wie genau eine Zahl angegeben werden soll. Die Ziffer direkt rechts von der Rundungsstelle entscheidet:
- $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$: Die Rundungsstelle bleibt gleich.
- $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$: Die Rundungsstelle wird um $1$ erhöht.
Runde $3{,}476$ auf Hundertstel.
Die Hundertstelziffer ist $7$. Rechts daneben steht die Tausendstelziffer $6$. Weil $6$ mindestens $5$ ist, wird die $7$ auf $8$ erhöht.
Das gerundete Ergebnis lautet $3{,}48$.
Bei Geldbeträgen reichen gewöhnlich zwei Nachkommastellen aus, weil sie die Cent angeben.
Zwischen Dezimalzahl und Bruch wechseln
Eine endliche Dezimalzahl kannst du als Bruch mit einem Zehnernenner schreiben. Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt den Nenner:
- eine Nachkommastelle: Nenner $10$,
- zwei Nachkommastellen: Nenner $100$,
- drei Nachkommastellen: Nenner $1000$.
Wandle $0{,}75$ in einen Bruch um.
- Schreibe die Zahl ohne Komma in den Zähler: $75$.
- Zwei Nachkommastellen ergeben den Nenner $100$.
- Kürze den Bruch vollständig.
$0{,}75 = 75/100 = 3/4$
Auch Zahlen größer als $1$ funktionieren so:
$1{,}38 = 138/100 = 69/50$
Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, kannst du ihn auf einen Nenner wie $10$, $100$ oder $1000$ erweitern.
$1/4$ wird mit $25$ erweitert:
$1/4 = 25/100 = 0{,}25$
Alternativ teilst du den Zähler durch den Nenner: $1 : 4 = 0{,}25$.
Nicht jeder Bruch besitzt eine endliche Dezimaldarstellung. Bei $1/3$ entsteht die unendliche periodische Dezimalzahl $0{,}333...$.
Mit Dezimalzahlen rechnen
Addieren und subtrahieren
Schreibe bei Addition und Subtraktion Komma unter Komma. Dann stehen Einer, Zehntel und Hundertstel jeweils in derselben Spalte. Fehlende Nachkommastellen darfst du durch Endnullen ergänzen.
Berechne $12{,}4 + 3{,}75$.
Ergänze zuerst eine Endnull: $12{,}4 = 12{,}40$. Addiere anschließend gleiche Stellenwerte:
$12{,}40 + 3{,}75 = 16{,}15$
Bei der Subtraktion gilt entsprechend:
$8{,}20 - 1{,}67 = 6{,}53$
Multiplizieren
Multipliziere zunächst so, als gäbe es keine Kommas. Setze das Komma danach so, dass das Produkt zunächst insgesamt ebenso viele Nachkommastellen besitzt wie beide Faktoren zusammen. Endnullen darfst du anschließend weglassen.
Berechne $0{,}08 · 0{,}2$.
- Ohne Kommas rechnest du $8 · 2 = 16$.
- Die Faktoren besitzen zusammen drei Nachkommastellen.
- Das Produkt braucht deshalb zunächst drei Nachkommastellen: $0{,}016$.
Also gilt $0{,}08 · 0{,}2 = 0{,}016$.
Dividieren
Hat der Divisor ein Komma, verschiebst du es so weit nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Im Dividenden musst du das Komma um genau dieselbe Anzahl von Stellen verschieben. Dadurch bleibt der Quotient gleich.
Berechne $4{,}8 : 0{,}6$.
Verschiebe beide Kommas um eine Stelle nach rechts:
$4{,}8 : 0{,}6 = 48 : 6 = 8$
Ein zweiter möglicher Weg führt über Brüche:
$0{,}7 : 0{,}25 = 7/10 : 1/4 = 7/10 · 4 = 28/10 = 2{,}8$
Bei der Multiplikation zählst du die Nachkommastellen beider Faktoren. Bei der Division verschiebst du die Kommas in Dividend und Divisor um dieselbe Anzahl von Stellen.
Endliche, periodische und irrationale Dezimalzahlen
Dezimaldarstellungen können unterschiedlich verlaufen.
Endliche Dezimalzahl
Eine endliche oder abbrechende Dezimalzahl besitzt eine Dezimaldarstellung mit nur endlich vielen Nachkommastellen, zum Beispiel $0{,}25$.
Periodische Dezimalzahl
Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholt sich ab einer bestimmten Stelle dieselbe Ziffer oder Ziffernfolge unendlich oft. Die wiederkehrende Folge heißt Periode. Ein Beispiel ist $1/3 = 0{,}333...$.
Endliche und periodische Dezimalzahlen sind rational: Sie lassen sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch aus ganzen Zahlen darstellen. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und besitzt keine Periode. Ein Beispiel ist die Kreiszahl $π$.
Eine periodische Dezimalzahl kannst du mithilfe einer Gleichung in einen Bruch verwandeln.
Gesucht ist der Bruch zu $3{,}888...$.
- Setze $x = 3{,}888...$.
- Multipliziere mit $10$: $10x = 38{,}888...$.
- Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten. Die periodischen Teile fallen weg:
$10x - x = 38{,}888... - 3{,}888...$
- Damit gilt $9x = 35$ und folglich $x = 35/9$.
Also ist $3{,}888... = 35/9$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dezimalzahlen
- Aufbau
- Vorkommastellen
- Komma
- Zehntel, Hundertstel, Tausendstel
- Darstellungen
- endliche Dezimalzahl
- periodische Dezimalzahl
- irrationale Dezimaldarstellung
- Vergleichen und Runden
- Stellen von links nach rechts vergleichen
- nächste Ziffer entscheidet beim Runden
- Brüche
- Dezimalzahl über einen Zehnernenner schreiben
- Bruch erweitern oder Zähler durch Nenner teilen
- Grundrechenarten
- Komma unter Komma bei Addition und Subtraktion
- Nachkommastellen bei Multiplikation zählen
- Kommas bei Division gleich weit verschieben
- Aufbau
Abschluss-Check
Wenn du jede Begründung des Abschluss-Checks nachvollziehen kannst, beherrschst du die zentralen Darstellungen und Rechenentscheidungen für Dezimalzahlen.