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Bruch in Dezimalzahl umwandeln – einfach erklärt
Ein Bruch ist bereits eine Division: Zähler durch Nenner. Du kannst deshalb jeden Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. Besonders schnell geht es über einen Nenner wie $10$, $100$ oder $1000$; die Division funktioniert immer.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der Bruchstrich?
Stell dir vor, drei Pizzen werden gleichmäßig auf vier Personen verteilt. Der Anteil jeder Person ist $\frac{3}{4}$ einer Pizza. Genau dasselbe beschreibt die Division $3:4$.
Bruch als Quotient
Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“:
$$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{Zähler}:\text{Nenner}$$
Damit hast du ein Verfahren, das bei jedem Nenner funktioniert:
- Schreibe den Bruch als Division.
- Teile den Zähler durch den Nenner.
- Endet die Division nicht, kennzeichne die sich wiederholenden Ziffern als Periode.
Manchmal gibt es einen kürzeren Weg: Du kürzt oder erweiterst den Bruch auf einen Nenner mit $10$, $100$, $1000$ und so weiter.
Schneller Weg: auf einen Zehnernenner kürzen oder erweitern. Allgemeiner Weg: Zähler durch Nenner dividieren.
Wie hilft ein Zehnernenner?
Bei einem Nenner $10$, $100$ oder $1000$ zeigt die Zahl der Nullen, wie viele Stellen nach dem Komma stehen.
Wandle $\frac{14}{1000}$ um.
- Der Nenner $1000$ hat drei Nullen. Das Ergebnis braucht drei Nachkommastellen.
- Trage den Zähler $14$ von rechts ein.
- Fülle die freie Stelle links mit einer Null.
$$\frac{14}{1000}=0{,}014$$
Die Null direkt nach dem Komma ist wichtig: $0{,}014$ sind vierzehn Tausendstel.
Liegt noch kein Zehnernenner vor, kannst du manchmal erweitern:
$$\frac{9}{20}=\frac{9\cdot5}{20\cdot5}=\frac{45}{100}=0{,}45$$
Oder du kürzt zuerst:
$$\frac{24}{80}=\frac{3}{10}=0{,}3$$
Beim Erweitern und Kürzen veränderst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
Wie funktioniert die Division?
Der Divisionsweg ist das allgemeine Verfahren. Bei $\frac{3}{4}$ rechnest du $3:4$.
- Die $4$ passt keinmal vollständig in die $3$. Das Ergebnis beginnt deshalb mit $0{,}$.
- Ergänze eine Null: $30:4=7$ mit Rest $2$, denn $7\cdot4=28$.
- Ergänze beim Rest eine weitere Null: $20:4=5$ ohne Rest.
- Sobald der Rest $0$ ist, endet die Dezimalzahl.
$$\frac{3}{4}=3:4=0{,}75$$
Probe: $0{,}75$ sind $\frac{75}{100}$. Gekürzt ergibt das wieder $\frac{3}{4}$.
Das Anhängen einer Null hinter dem Komma verändert den Wert nicht. So kannst du die Division nach dem Komma fortsetzen.
Wann endet die Dezimalzahl?
Eine endliche Dezimalzahl hat nur endlich viele Nachkommastellen, zum Beispiel $0{,}45$. Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholt sich eine Ziffer oder eine Zifferngruppe ohne Ende.
Periode
Die kürzeste Ziffernfolge, die sich fortlaufend wiederholt, heißt Periode. Ein Strich über den wiederholten Ziffern kennzeichnet sie:
$$\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}$$
Für die Entscheidung kürzt du den Bruch vollständig. Besteht der Nenner danach nur aus Faktoren $2$ und $5$, lässt er sich auf eine Zehnerpotenz bringen und die Dezimalzahl endet. Kommt ein anderer Primfaktor vor, wird die Dezimalzahl periodisch.
- $\frac{24}{80}=\frac{3}{10}$ endet, denn im gekürzten Nenner steht nur $2\cdot5$.
- $\frac{5}{3}=1{,}\overline{6}$ ist periodisch, denn der Nenner $3$ enthält weder nur Zweien noch nur Fünfen.
- $\frac{3}{7}=0{,}\overline{428571}$ hat die Periode $428571$.
Eine Schreibweise wie $0{,}428571$ ohne Periodenstrich ist nicht exakt gleich $\frac{3}{7}$. Sie bricht die unendliche Dezimaldarstellung nach sechs Stellen ab. Exakt ist $0{,}\overline{428571}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Bruch wird vor der Entscheidung vollständig . Enthält sein Nenner danach nur die Faktoren , ist die Dezimalzahl . Bei einem anderen Primfaktor ist sie .
Welches Verfahren wählst du?
Nutze diese Entscheidungshilfe:
- Kürze, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.
- Suche einen Zehnernenner, wenn der gekürzte Nenner nur aus Faktoren $2$ und $5$ besteht.
- Dividiere, wenn kein schneller Zehnernenner erkennbar ist oder du das allgemeine Verfahren üben möchtest.
- Kennzeichne die Periode, wenn sich bei der Division Reste und damit Ziffern wiederholen.
Drei Aufgaben
Wandle um und begründe jeweils deinen Weg.
- $\frac{14}{1000}$
- $\frac{24}{80}$
- $\frac{3}{7}$
Lösungen
- Der Nenner $1000$ hat drei Nullen. Deshalb gilt $\frac{14}{1000}=0{,}014$.
- Kürze Zähler und Nenner durch $8$: $\frac{24}{80}=\frac{3}{10}=0{,}3$.
- Der Bruch ist bereits gekürzt. Der Nenner $7$ enthält einen anderen Faktor als $2$ oder $5$. Die Division wird periodisch: $\frac{3}{7}=0{,}\overline{428571}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bruch in Dezimalzahl umwandeln
- Bruchstrich bedeutet Zähler durch Nenner
- Zehnernenner zeigt die Zahl der Nachkommastellen
- Kürzen vereinfacht den Bruch
- Erweitern kann einen Zehnernenner erzeugen
- Division funktioniert bei jedem Bruch
- Rest $0$ führt zu einer endlichen Dezimalzahl
- Wiederholte Reste führen zu einer Periode
- Gekürzter Nenner mit nur $2$ und $5$ bedeutet endlich