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Bruchrechnung: Regeln, Beispiele und Übungen
Bei der Bruchrechnung rechnest du mit Anteilen eines Ganzen. Zähler und Nenner zeigen, wie viele gleich große Teile betrachtet werden und wie das Ganze aufgeteilt ist. Je nach Rechenart musst du Brüche zuerst gleichnamig machen, direkt multiplizieren oder mit einem Kehrwert rechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt ein Bruch?
Stell dir eine Schokoladentafel vor, die in vier gleich große Teile zerlegt wird. Eine Person erhält einen Teil und damit den Bruch $\frac{1}{4}$.
Bruch
Ein Bruch $\frac{a}{b}$ besteht aus dem Zähler $a$ über dem Bruchstrich und dem Nenner $b$ unter dem Bruchstrich.
- Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt ist.
- Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile betrachtet werden.
Bei $\frac{3}{4}$ ist das Ganze in vier gleich große Teile zerlegt. Drei Teile werden betrachtet. Sind Zähler und Nenner gleich, stellt der Bruch ein Ganzes dar:
$$\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=\frac{8}{8}=1$$
Ein Bruch kann auch größer als $1$ sein. Bei $\frac{3}{2}$ werden drei Hälften betrachtet. Das sind mehr als ein Ganzes.
Wie bleiben Brüche beim Erweitern und Kürzen gleich viel?
Du kannst einen Bruch anders schreiben, ohne seinen Wert zu verändern. Dazu behandelst du Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl.
Erweitern
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
Erweitere $\frac{3}{7}$ mit $2$:
$$\frac{3}{7}=\frac{3\cdot 2}{7\cdot 2}=\frac{6}{14}$$
Die Zahl der ausgewählten Teile und die gesamte Unterteilung werden gleichermaßen verfeinert. Deshalb sind $\frac{3}{7}$ und $\frac{6}{14}$ gleichwertig.
Kürzen
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl größer als $1$. Der Wert des Bruchs bleibt ebenfalls gleich.
Kürze $\frac{9}{27}$ durch $9$:
$$\frac{9}{27}=\frac{9:9}{27:9}=\frac{1}{3}$$
$\frac{1}{3}$ lässt sich nicht weiter kürzen. Der Bruch ist damit vollständig gekürzt.
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ mehr haben. Prüfe deshalb nach jedem Kürzen, ob du beide Zahlen noch einmal durch dieselbe Zahl teilen kannst.
Multipliziere oder dividiere beim Erweitern und Kürzen niemals nur den Zähler oder nur den Nenner. Sonst änderst du den Wert des Bruchs.
Wie addierst und subtrahierst du Brüche?
Bei einer Addition oder Subtraktion müssen die Brüche denselben Nenner haben. Solche Brüche heißen gleichnamig. Erst dann rechnest du mit den Zählern; der gemeinsame Nenner bleibt stehen.
Berechne $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$.
- Die Nenner $2$ und $4$ sind verschieden.
- Erweitere $\frac{1}{2}$ mit $2$.
- Addiere anschließend die Zähler.
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
Das Ergebnis sind drei Viertel eines Ganzen.
Bei gleichnamigen Brüchen kannst du sofort subtrahieren:
$$\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$
Bei Addition und Subtraktion gilt: erst einen gemeinsamen Nenner herstellen, dann nur die Zähler verrechnen und zum Schluss vollständig kürzen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zum Addieren ungleichnamiger Brüche brauchst du einen Nenner. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl . Nach dem Addieren bleibt der gemeinsame erhalten.
Wie funktionieren Multiplikation und Division?
Für die Multiplikation brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1\cdot3}{2\cdot4}=\frac{3}{8}$$
Das Ergebnis ist bereits vollständig gekürzt.
Manchmal kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen. Das hält die Zahlen klein:
$$\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{27}=\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{9}=\frac{2}{9}$$
Beim Dividieren durch einen Bruch bildest du zuerst den Kehrwert des zweiten Bruchs. Dafür vertauschst du seinen Zähler und Nenner. Danach multiplizierst du.
Berechne $\frac{3}{7}:\frac{27}{14}$.
- Der Kehrwert von $\frac{27}{14}$ ist $\frac{14}{27}$.
- Ersetze die Division durch eine Multiplikation.
- Kürze und multipliziere.
$$\frac{3}{7}:\frac{27}{14}=\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{27}=\frac{2}{9}$$
Nur bei der Division wird der zweite Bruch umgedreht. Bei der Multiplikation bleiben beide Brüche zunächst unverändert.
Wie wandelst du gemischte Zahlen um?
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, zum Beispiel $2\frac{1}{4}$. Ein unechter Bruch hat einen größeren Zähler als Nenner, zum Beispiel $\frac{9}{4}$.
Wandle $2\frac{1}{4}$ in einen unechten Bruch um.
- Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner: $2\cdot4=8$.
- Addiere den bisherigen Zähler: $8+1=9$.
- Behalte den Nenner bei.
$$2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot4+1}{4}=\frac{9}{4}$$
Umgekehrt ergeben neun Viertel zwei Ganze und ein Viertel:
$$\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bruchrechnung
- Bedeutung: Zähler und Nenner beschreiben Anteile
- Wertgleich umformen: erweitern und kürzen
- Addition und Subtraktion: gemeinsamen Nenner herstellen
- Multiplikation: Zähler und Nenner jeweils multiplizieren
- Division: mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren
- Darstellungswechsel: gemischte Zahl und unechter Bruch
Abschluss-Check
Wenn du die passende Regel auswählst, Zähler und Nenner nicht verwechselst und jedes Ergebnis kürzt, kannst du die grundlegenden Aufgaben der Bruchrechnung sicher lösen.