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Wenn du eine Pizza mit Freunden teilst, müssen alle Stücke gleich groß sein. Auch beim Backen brauchst du manchmal nur ein halbes oder ein viertel Kilogramm Mehl. Dafür sind Brüche praktisch: Sie beschreiben Teile eines Ganzen.
- Du kannst danach:
- Zähler und Nenner erklären.
- gleichwertige Brüche erkennen.
- Brüche kürzen und erweitern.
- Brüche addieren und subtrahieren.
- Brüche multiplizieren und dividieren.
- unechte und gemischte Brüche umwandeln.
1. Brüche beschreiben Teile
Stell dir eine Tafel Schokolade vor. Du teilst sie in vier gleich große Stücke. Ein Stück davon ist ein Viertel. Drei Stücke sind drei Viertel.
Ein Bruch beschreibt einen Anteil oder eine Zahl als Division. Beim Bruch \(\frac{3}{4}\) heißt die obere Zahl Zähler. Sie zeigt, wie viele Teile gemeint sind. Die untere Zahl heißt Nenner. Sie zeigt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde.
Der Nenner darf niemals 0 sein. Durch 0 kann man nicht teilen.
Bei \(\frac{3}{4}\) wurde ein Ganzes in vier gleich große Teile geteilt. Davon sind drei Teile gemeint.
Bei \(\frac{5}{3}\) sind fünf Drittel gemeint. Das ist mehr als ein Ganzes.
Oben steht: Wie viele Teile sind gemeint?
Unten steht: In wie viele gleich große Teile ist das Ganze geteilt?
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2. Gleichwertige Brüche
Ein Kuchen kann in unterschiedlich viele Stücke geteilt werden. Drei Viertel sind genauso viel wie sechs Achtel, obwohl die Stücke verschieden groß aussehen.
Gleichwertige Brüche sind verschiedene Brüche mit demselben Wert. Sie beschreiben denselben Anteil, auch wenn Zähler und Nenner verschieden sind.
\(\frac{3}{4}\) und \(\frac{6}{8}\) sind gleichwertig. Beide beschreiben denselben Anteil.
Auch \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{4}{8}\) sind gleichwertig.
Du kannst einen Bruch als Division lesen:
\(\frac{3}{4}=3:4=0{,}75\)
Gleichwertige Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle.
Vergleiche nicht nur die Zähler. Entscheidend ist der Wert des ganzen Bruchs.
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3. Erweitern und Kürzen
Beim Addieren brauchst du oft gleich große Teilstücke. Dafür veränderst du die Schreibweise eines Bruchs, ohne seinen Wert zu verändern.
Erweitern bedeutet: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben von null verschiedenen Zahl.
Kürzen bedeutet: Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Eine Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind, heißt gemeinsamer Teiler.
Erweitern:
\(\frac{3}{5}=\frac{3\cdot2}{5\cdot2}=\frac{6}{10}\)
Kürzen:
\(\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}\)
In beiden Fällen bleibt der Wert des Bruchs gleich.
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben.
Beim Erweitern und Kürzen musst du oben und unten immer mit derselben Zahl rechnen.
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4. Brüche addieren und subtrahieren
Zwei Viertelstücke kannst du direkt mit drei weiteren Viertelstücken zusammenzählen. Bei einem Halb und einem Viertel musst du den Halb zuerst in Viertel umwandeln.
Brüche heißen gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Gleichnamige Brüche kannst du direkt addieren oder subtrahieren.
Dabei bleibt der Nenner gleich. Du addierst oder subtrahierst nur die Zähler.
Gleiche Nenner:
\(\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}\)
\(\frac{6}{9}-\frac{2}{9}=\frac{4}{9}\)
Verschiedene Nenner:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\)
Zuerst erweiterst du \(\frac{1}{2}\) zu \(\frac{2}{4}\):
\(\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Der gemeinsame Nenner sollte möglichst klein sein. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner heißt Hauptnenner.
Erst gleichnamig machen, dann die Zähler rechnen. Die Nenner werden nicht addiert und nicht subtrahiert.
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5. Brüche multiplizieren
Wenn du ein Viertel von drei Fünfteln suchst, nimmst du einen Anteil von einem anderen Anteil. Dafür brauchst du eine Multiplikation.
Beim Multiplizieren von Brüchen multiplizierst du die Zähler miteinander und die Nenner miteinander.
\(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{2\cdot5}{3\cdot7}=\frac{10}{21}\)
Du kannst vor dem Multiplizieren kürzen:
\(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}\)
Die drei und die neun werden durch drei gekürzt. Die vier und die acht werden durch vier gekürzt:
\(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)
Mal bedeutet: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Vorheriges Kürzen macht die Rechnung oft leichter.
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6. Brüche dividieren
Beim Teilen fragst du, wie oft eine Menge in eine andere passt. Bei Brüchen hilft dabei der Tausch von Zähler und Nenner.
Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von \(\frac{3}{5}\) ist \(\frac{5}{3}\).
Beim Dividieren durch einen Bruch multiplizierst du mit seinem Kehrwert.
\(\frac{2}{3}:\frac{4}{5}\)
Der zweite Bruch wird umgedreht:
\(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)
Der Bruch, durch den du teilst, darf nicht den Wert null haben. Durch null kann man nicht teilen.
Geteilt durch einen Bruch heißt: Malnehmen mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.
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7. Unechte und gemischte Brüche
Manchmal ist ein Bruch größer als ein Ganzes. Im Alltag sagst du dann eher „zwei und ein Viertel“ als „neun Viertel“.
Ein echter Bruch hat bei positiven Zahlen einen kleineren Zähler als Nenner, zum Beispiel \(\frac{3}{5}\). Sein Wert liegt dann zwischen 0 und 1.
Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der mindestens so groß wie der Nenner ist, zum Beispiel \(\frac{9}{4}\).
Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, zum Beispiel \(2\frac{1}{4}\).
Unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln:
\(\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\)
Denn neun Viertel enthalten acht Viertel, also zwei Ganze. Ein Viertel bleibt übrig.
Gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln:
\(2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot4+1}{4}=\frac{9}{4}\)
Ganze Zahl mal Nenner plus Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
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Zusammenfassung
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Der wichtigste Ablauf lautet:
- Lies Zähler und Nenner richtig ab.
- Prüfe bei Plus und Minus die Nenner.
- Mache die Brüche bei Bedarf gleichnamig.
- Rechne die passende Grundrechenart.
- Kürze das Ergebnis vollständig.
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