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Brüche kürzen: Regeln, Beispiele und Übungen
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe ganze Zahl größer als 1. Der Bruch sieht danach einfacher aus, behält aber seinen Wert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum der Wert beim Kürzen gleich bleibt
Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe geeignete Zahl.
Kürze $\frac{2}{4}$ durch 2:
$$\frac{2}{4}=\frac{2:2}{4:2}=\frac{1}{2}$$
Zwei von vier gleich großen Teilen sind genauso viel wie einer von zwei gleich großen Teilen. Deshalb gilt $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
Kürzungszahl
Eine Kürzungszahl teilt den Zähler und den Nenner ohne Rest. Sie ist eine gemeinsame Teilerzahl größer als 1.
Teile beim Kürzen immer Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Durch 0 darfst du nicht teilen.
So findest du eine Kürzungszahl
Suche eine Zahl größer als 1, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt. Dabei helfen Teilbarkeitsregeln:
- Sind beide Zahlen gerade, kannst du durch 2 kürzen.
- Ist die Quersumme beider Zahlen durch 3 teilbar, kannst du durch 3 kürzen.
- Enden beide Zahlen auf 0 oder 5, kannst du durch 5 kürzen.
- Enden beide Zahlen auf 0, kannst du durch 10 kürzen.
Die Quersumme ist die Summe der Ziffern einer Zahl. Bei 48 lautet sie $4+8=12$.
Kürze $\frac{48}{57}$.
Die Quersummen sind:
- 48: $4+8=12$
- 57: $5+7=12$
Beide Quersummen sind durch 3 teilbar. Deshalb ist 3 eine gemeinsame Kürzungszahl:
$$\frac{48}{57}=\frac{48:3}{57:3}=\frac{16}{19}$$
16 und 19 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Der Bruch ist vollständig gekürzt.
Einen Bruch vollständig kürzen
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr besitzen. Dann heißen sie teilerfremd.
Du kannst schrittweise kürzen oder sofort den größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT, verwenden. Der ggT ist die größte Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt.
Kürze $\frac{12}{18}$ schrittweise:
- Beide Zahlen sind gerade. Teile durch 2:
$$\frac{12}{18}=\frac{6}{9}$$
- 6 und 9 sind beide durch 3 teilbar:
$$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
- 2 und 3 haben nur den gemeinsamen Teiler 1. Das Ergebnis $\frac{2}{3}$ ist vollständig gekürzt.
Direkt geht es mit $\operatorname{ggT}(12,18)=6$:
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}$$
Mit jedem gemeinsamen Teiler kannst du richtig kürzen. Mit dem ggT gelangst du in einem Schritt zur vollständig gekürzten Form.
Vertiefung: Kürzen mit Primfaktoren
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur 1 und sich selbst als positive Teiler hat. Bei der Primfaktorzerlegung schreibst du eine Zahl als Produkt von Primzahlen.
Kürze $\frac{12}{30}$ mithilfe der Primfaktorzerlegung:
$$12=2\cdot2\cdot3$$
$$30=2\cdot3\cdot5$$
Setze die Zerlegungen in den Bruch ein:
$$\frac{12}{30}=\frac{2\cdot2\cdot3}{2\cdot3\cdot5}$$
Die gemeinsamen Faktoren 2 und 3 treten oben und unten auf. Das entspricht einer Division von Zähler und Nenner durch $2\cdot3=6$:
$$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$
2 und 5 sind teilerfremd. Damit ist der Bruch vollständig gekürzt.
Gemeinsame Faktoren darfst du nur entfernen, weil dabei Zähler und Nenner durch denselben Faktor geteilt werden. Einzelne Summanden darfst du nicht einfach streichen.
Jetzt kürzt du selbst
Bearbeite die Aufgaben zuerst ohne Lösung. Prüfe danach nicht nur dein Ergebnis, sondern auch, ob Zähler und Nenner teilerfremd sind.
Aufgabe 1
Kürze $\frac{36}{48}$ vollständig.
Lösung: Der größte gemeinsame Teiler von 36 und 48 ist 12.
$$\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$$
3 und 4 besitzen keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Das Ergebnis ist vollständig gekürzt.
Aufgabe 2
Kürze $\frac{45}{75}$ schrittweise vollständig.
Lösung: Beide Zahlen enden auf 5. Kürze zuerst durch 5:
$$\frac{45}{75}=\frac{9}{15}$$
9 und 15 sind beide durch 3 teilbar:
$$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$$
3 und 5 sind teilerfremd. Das vollständige Ergebnis lautet $\frac{3}{5}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Kürzen werden und durch dieselbe geteilt. Vollständig gekürzt ist der Bruch, wenn beide Zahlen sind.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Brüche kürzen
- Grundregel
- Zähler und Nenner gleich teilen
- Bruchwert bleibt erhalten
- Kürzungszahl finden
- gemeinsame Teiler
- Teilbarkeitsregeln
- Vollständig kürzen
- schrittweise
- direkt mit dem ggT
- Kontrolle auf Teilerfremdheit
- Primfaktormethode
- Zahlen zerlegen
- gemeinsame Faktoren entfernen
- Grundregel
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du eine Kürzungszahl begründen, beide Zahlen korrekt teilen und anschließend die Teilerfremdheit prüfen kannst.