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Brüche erweitern: Regel, Zielnenner und Übungen
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl. Die Schreibweise ändert sich, der Wert des Bruchs bleibt gleich. Du lernst hier, wie du die passende Erweiterungszahl findest und Brüche auf einen Zielnenner oder gemeinsamen Nenner bringst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum bleibt der Wert gleich?
Erweitern
Beim Erweitern multiplizierst du den Zähler und den Nenner mit derselben natürlichen Zahl. Diese Zahl heißt Erweiterungszahl.
Für einen Bruch $\frac{a}{b}$ gilt:
$$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$$
Dabei darf $k$ nicht $0$ sein. In Übungen wird meist eine natürliche Zahl größer als $1$ verwendet. Mit $1$ bleibt sogar die Schreibweise unverändert.
Warum ändert sich der Wert nicht? Wenn du etwa jedes von drei gleich großen Stücken noch einmal in drei gleich große Teile zerlegst, entstehen neun kleinere Stücke. Zwei große Stücke entsprechen dann sechs kleinen Stücken.
Erweitere $\frac{2}{3}$ mit $3$.
- Multipliziere den Zähler: $2\cdot3=6$.
- Multipliziere den Nenner: $3\cdot3=9$.
- Schreibe das Ergebnis: $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$.
Beide Brüche beschreiben denselben Anteil.
Oben und unten muss dieselbe Erweiterungszahl stehen. Sonst veränderst du den Wert des Bruchs.
Wie erreichst du einen Zielnenner?
Ist ein Zielnenner vorgegeben, schaust du zuerst nur auf den Nenner: Mit welcher ganzen Zahl musst du ihn multiplizieren, um den Zielnenner zu erhalten? Genau diese Zahl verwendest du anschließend auch beim Zähler.
Erweitere $\frac{4}{5}$ auf den Nenner $15$.
- Bestimme den Faktor: $5\cdot3=15$. Die Erweiterungszahl ist also $3$.
- Erweitere oben und unten: $\frac{4}{5}=\frac{4\cdot3}{5\cdot3}$.
- Rechne aus: $\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$.
Die Probe passt: Zähler und Nenner wurden beide mit $3$ multipliziert.
Nicht jeder gewünschte Nenner ist durch Erweitern erreichbar. Von $6$ kommst du zum Beispiel nicht mit einer ganzen Erweiterungszahl auf $10$, denn es gibt keine natürliche Zahl $k$ mit $6\cdot k=10$.
Wie findest du einen gemeinsamen Nenner?
Zum Vergleichen, Addieren oder Subtrahieren helfen gleichnamige Brüche: Das sind Brüche mit demselben Nenner. Ein besonders günstiger gemeinsamer Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, der Ausgangsnenner. Es heißt hier auch Hauptnenner.
Für die Nenner $4$ und $3$ gehst du so vor:
- Notiere Vielfache von $4$: $4, 8, 12, 16, \dots$
- Notiere Vielfache von $3$: $3, 6, 9, 12, \dots$
- Die kleinste gemeinsame Zahl ist $12$. Also ist $12$ der Hauptnenner.
Vergleiche $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$.
- Erweitere $\frac{1}{3}$ mit $4$: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$.
- Erweitere $\frac{1}{4}$ mit $3$: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$.
- Bei gleichem Nenner vergleichst du die Zähler: $4>3$.
Daher gilt $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Nur eine Zahl verändern: Wenn du nur Zähler oder nur Nenner multiplizierst, bleibt der Bruchwert nicht gleich.
- Addieren statt multiplizieren: Erweitern bedeutet nicht, oben und unten dieselbe Zahl zu addieren.
- Mit $0$ erweitern: Dadurch würde der neue Nenner $0$ werden. Ein Bruch mit Nenner $0$ ist nicht erlaubt.
- Faktor aus der Differenz bilden: Beim Zielnenner brauchst du einen Multiplikationsfaktor, keine Differenz.
Das Kürzen ist die Gegenoperation zum Erweitern. Dabei teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Auch dadurch bleibt der Bruchwert gleich.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Erweitern werden und mit derselben multipliziert. Der des Bruchs bleibt dabei gleich.
Jetzt wendest du das Verfahren an
Erweitere $\frac{4}{5}$ auf den Nenner $15$ und erkläre deinen entscheidenden Schritt.
Lösung: Der Nenner $5$ wird mit $3$ zu $15$. Deshalb multiplizierst du auch den Zähler mit $3$: $4\cdot3=12$. Somit gilt $\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$.
Nun bringe $\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{3}$ auf den Hauptnenner $12$.
Lösung: Für $\frac{3}{4}$ ist der Faktor $3$, also $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$. Für $\frac{1}{3}$ ist der Faktor $4$, also $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$. Beide Brüche sind nun gleichnamig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Brüche erweitern
- Regel: Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren
- Wirkung: Schreibweise ändert sich, Wert bleibt gleich
- Zielnenner: Faktor am Nenner bestimmen
- Hauptnenner: kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen
- Anwendungen: Brüche vergleichen, addieren oder subtrahieren
- Kontrolle: Faktor oben und unten vergleichen
Abschluss-Check
Du kannst Brüche jetzt wertgleich erweitern, passende Faktoren aus Zielnennern ableiten und einen Hauptnenner nutzen. Prüfe bei jeder Rechnung zuletzt: Wurde oben und unten wirklich mit derselben Zahl multipliziert?