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Brüche addieren und subtrahieren: Regeln & Übungen
Brüche kannst du direkt addieren oder subtrahieren, sobald sie denselben Nenner haben. Dann verrechnest du nur die Zähler; der gemeinsame Nenner bleibt stehen. Ungleichnamige Brüche musst du vorher erweitern.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Gleichnamige Brüche direkt verrechnen
Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamig. Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde. Deshalb darf er beim Addieren oder Subtrahieren nicht einfach mitverrechnet werden.
Gleichnamige Brüche
Gleichnamige Brüche besitzen denselben Nenner, zum Beispiel $\frac{2}{7}$ und $\frac{4}{7}$.
Für die Addition gilt:
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$$
Für die Subtraktion gilt:
$$\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$$
Berechne $\frac{3}{10}+\frac{6}{10}$.
Die Nenner sind beide $10$. Deshalb werden nur die Zähler addiert:
$$\frac{3}{10}+\frac{6}{10}=\frac{3+6}{10}=\frac{9}{10}$$
Das Ergebnis ist kleiner als $1$. Das ist plausibel, denn $3$ Zehntel und $6$ Zehntel ergeben zusammen $9$ Zehntel.
Berechne $\frac{9}{12}-\frac{5}{12}$.
$$\frac{9}{12}-\frac{5}{12}=\frac{9-5}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$
Am Ende wurde mit $4$ gekürzt: Zähler und Nenner wurden durch dieselbe Zahl geteilt.
Gleicher Nenner: Zähler verrechnen, Nenner beibehalten, Ergebnis prüfen und möglichst kürzen.
Ungleichnamige Brüche gleichnamig machen
Brüche mit verschiedenen Nennern heißen ungleichnamig. Vor dem Verrechnen brauchst du einen gemeinsamen Nenner, also eine Zahl, die durch beide bisherigen Nenner teilbar ist.
Erweitern
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt dadurch gleich: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$.
Ein gemeinsamer Nenner lässt sich auf drei Arten finden:
- Suche ein gemeinsames Vielfaches der Nenner.
- Nutze möglichst das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV. Es ergibt den kleinsten möglichen gemeinsamen Nenner.
- Wenn du das kgV nicht sofort erkennst, kannst du die Nenner multiplizieren. Dieser gemeinsame Nenner funktioniert immer, ist aber manchmal größer als nötig.
Sind die Nenner Vielfache voneinander, reicht es oft, nur einen Bruch zu erweitern. Bei $\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$ ist $4$ bereits ein Vielfaches von $2$:
$$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}$$
Berechne $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}$.
Das kgV von $4$ und $5$ ist $20$. Beide Brüche werden auf Zwanzigstel erweitert:
$$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}$$
$$\frac{2}{5}=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac{8}{20}$$
Jetzt sind die Brüche gleichnamig:
$$\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}=1\frac{3}{20}$$
Die Summe ist größer als $1$. Das passt, denn $\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{5}$ ergeben zusammen mehr als ein Ganzes.
Bei der Subtraktion sind die ersten Schritte gleich:
$$\frac{3}{4}-\frac{2}{5}=\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$$
Da $\frac{3}{4}$ größer als $\frac{2}{5}$ ist, muss ein positives Ergebnis entstehen. $\frac{7}{20}$ passt dazu.
Ergebnisse vereinfachen und prüfen
Nach der Rechnung prüfst du, ob sich der Ergebnisbruch kürzen lässt. Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Auch dabei ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
Unechter Bruch
Bei einem unechten Bruch ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner. Du kannst ihn als ganze oder gemischte Zahl schreiben, zum Beispiel $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.
Für eine schnelle Ergebniskontrolle helfen drei Fragen:
- Vorzeichen: Muss das Ergebnis positiv oder negativ sein?
- Größe: Wird eine Summe größer und eine Differenz kleiner als der erste Bruch?
- Form: Kannst du den Bruch kürzen oder einen unechten Bruch umwandeln?
Berechne $\frac{7}{8}-\frac{1}{3}$.
Das kgV von $8$ und $3$ ist $24$:
$$\frac{7}{8}-\frac{1}{3}=\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\frac{13}{24}$$
$\frac{13}{24}$ lässt sich nicht weiter kürzen. Das Ergebnis liegt zwischen $0$ und $\frac{7}{8}$ und ist deshalb plausibel.
Ein größerer gemeinsamer Nenner kann ebenfalls korrekt sein. Mit dem kgV bleibt die Rechnung jedoch meist übersichtlicher und das Ergebnis muss seltener nachträglich stark gekürzt werden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Vor dem Verrechnen ungleichnamiger Brüche brauchst du einen . Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit multipliziert. Nach dem Rechnen solltest du das Ergebnis auf prüfen.
Gemischte Zahlen sicher verrechnen
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil, zum Beispiel $4\frac{1}{3}$. Sie bedeutet $4+\frac{1}{3}$.
Bei einer Addition kannst du ganze Anteile und Bruchteile getrennt addieren.
Berechne $4\frac{8}{10}+3\frac{2}{5}$.
Zerlege zuerst beide gemischten Zahlen:
$$4\frac{8}{10}+3\frac{2}{5}=(4+3)+\left(\frac{8}{10}+\frac{2}{5}\right)$$
Erweitere $\frac{2}{5}$ auf Zehntel und rechne weiter:
$$7+\left(\frac{8}{10}+\frac{4}{10}\right)=7+\frac{12}{10}$$
Der Bruchteil enthält ein Ganzes:
$$7+\frac{12}{10}=8+\frac{2}{10}=8\frac{1}{5}$$
Das vollständig gekürzte Ergebnis lautet $8\frac{1}{5}$.
Bei einer Subtraktion kann der abzuziehende Bruchteil größer sein als der erste Bruchteil. Dann löst du von der ganzen Zahl ein Ganzes ab und schreibst es als passenden Bruch.
Berechne $8\frac{1}{6}-4\frac{1}{4}$.
Schreibe die gemischten Zahlen als Summen. Vor der zweiten Klammer steht ein Minus, deshalb werden beim Auflösen beide Teile subtrahiert:
$$\left(8+\frac{1}{6}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)=4+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}$$
Bringe die Bruchteile auf den Nenner $12$:
$$4+\frac{2}{12}-\frac{3}{12}=4-\frac{1}{12}$$
Löse nun ein Ganzes von der $4$ ab. Ein Ganzes entspricht $\frac{12}{12}$:
$$4-\frac{1}{12}=3+\frac{12}{12}-\frac{1}{12}=3\frac{11}{12}$$
Beim Auflösen einer subtrahierten Klammer werden sowohl die ganze Zahl als auch der Bruchteil abgezogen.
Typische Fehler erkennen
Diese Fehler kannst du mit einer kurzen Gegenfrage vermeiden:
- Nenner addiert oder subtrahiert? Gleich große Teile behalten ihren Namen. Der gemeinsame Nenner bleibt stehen.
- Nur den Nenner erweitert? Ein Bruch behält seinen Wert nur, wenn Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden.
- Zu früh verrechnet? Bei verschiedenen Nennern musst du zuerst gleichnamig machen.
- Nicht gekürzt? Prüfe, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler besitzen.
- Minus vor einer gemischten Zahl übersehen? Das Minus betrifft den ganzen Anteil und den Bruchteil.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Brüche addieren und subtrahieren
- Gleichnamig: Zähler verrechnen, Nenner beibehalten
- Ungleichnamig: gemeinsamen Nenner finden und erweitern
- Ergebnis: kürzen, umwandeln und auf Plausibilität prüfen
- Gemischte Zahlen: ganze Anteile und Bruchteile beachten
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du den Kernweg: Nenner prüfen, gegebenenfalls erweitern, Zähler verrechnen und das Ergebnis vereinfachen sowie kontrollieren.