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Brüche multiplizieren: Regeln und Übungen
Beim Multiplizieren von Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Anders als beim Addieren oder Subtrahieren musst du die Nenner vorher nicht gleich machen.
Auf dieser Seite verstehst du die Regel als „Anteil von einem Anteil“, wendest sie auf Brüche und ganze Zahlen an und kürzt Ergebnisse geschickt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Anteil von einem Anteil verstehen
Was bedeutet eigentlich $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}$?
Stell dir ein Rechteck als ein Ganzes vor. Teile es zuerst in drei gleich große Streifen und markiere einen davon. Dieser Streifen stellt $\frac{1}{3}$ des Rechtecks dar. Teile nun das gesamte Rechteck in einer anderen Richtung in zwei gleich große Hälften. Wähle innerhalb des markierten Drittels eine dieser Hälften aus.
Das gesamte Rechteck besteht jetzt aus sechs gleich großen Feldern. Genau eines davon wurde ausgewählt:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$
Bruchprodukt
Ein Bruchprodukt ist das Ergebnis einer Multiplikation mit Brüchen. Es kann als „Anteil von einem Anteil“ verstanden werden.
Das Wort von weist bei Anteilen oft auf eine Multiplikation hin: Die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel.
Die Grundregel anwenden
Für zwei Brüche gilt:
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Du multiplizierst also die beiden Zähler und anschließend die beiden Nenner. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig.
Berechne $\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{6}$.
1. Zähler multiplizieren: $2\cdot4=8$
2. Nenner multiplizieren: $3\cdot6=18$
Damit erhältst du:
$$\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{6}=\frac{8}{18}$$
3. Ergebnis kürzen: Zähler und Nenner sind durch $2$ teilbar.
$$\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}$$
Das vollständig gekürzte Ergebnis lautet $\frac{4}{9}$.
Oben mal oben, unten mal unten. Prüfe danach immer, ob du das Ergebnis kürzen kannst.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}$ multiplizierst du die miteinander und erhältst oben . Unten rechnest du $5\cdot5$ und erhältst . Das Ergebnis ist deshalb {*$\frac{4}{25}$|$\frac{10}{4}$}.
Ganze Zahlen mit Brüchen multiplizieren
Eine ganze Zahl kannst du als Bruch mit dem Nenner $1$ schreiben. Dadurch gilt dieselbe Multiplikationsregel wie bei zwei Brüchen.
Berechne $5\cdot\frac{2}{3}$.
Schreibe zuerst $5$ als $\frac{5}{1}$:
$$5\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{3}$$
Nun multiplizierst du Zähler und Nenner:
$$\frac{5\cdot2}{1\cdot3}=\frac{10}{3}$$
Das Ergebnis ist $\frac{10}{3}$.
Du kannst auch die Kurzregel verwenden:
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Die ganze Zahl wird mit dem Zähler multipliziert. Der Nenner bleibt erhalten.
Bei $5\cdot\frac{3}{5}$ rechnest du:
$$5\cdot\frac{3}{5}=\frac{15}{5}=3$$
Ein Bruchprodukt kann also auch eine ganze Zahl sein.
Vor dem Multiplizieren kürzen
Du darfst ein Produkt bereits vor dem Multiplizieren kürzen. Dabei teilst du einen Zähler und einen Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler. Das hält die Zahlen klein.
Berechne $\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}$.
Kürze zuerst $5$ und $10$ durch $5$:
$$5:5=1\qquad 10:5=2$$
Kürze danach $9$ und $6$ durch $3$:
$$9:3=3\qquad 6:3=2$$
Nun bleiben kleine Faktoren übrig:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$$
Ohne vorheriges Kürzen würdest du zunächst $\frac{45}{60}$ erhalten. Auch dieser Bruch lässt sich zu $\frac{3}{4}$ kürzen. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Beim Kürzen muss ein Faktor im Zähler und ein Faktor im Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden. Zwei Zähler oder zwei Nenner miteinander zu kürzen verändert den Wert und ist nicht erlaubt.
Üben und Ergebnisse prüfen
Gehe bei jeder Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Schreibe eine ganze Zahl bei Bedarf als Bruch mit Nenner $1$.
- Suche nach möglichen Kürzungen zwischen Zähler und Nenner.
- Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
- Kürze das Ergebnis vollständig.
- Prüfe, ob die Größe des Ergebnisses zu den Faktoren passt.
Typische Fehler sind das unnötige Gleichnamigmachen der Brüche und das Multiplizieren eines Zählers mit einem Nenner.
Für die Ergebniskontrolle hilft diese Beobachtung: Multiplizierst du zwei positive echte Brüche, ist das Ergebnis kleiner als jeder der beiden Faktoren. Ein echter Bruch ist größer als $0$ und kleiner als $1$; sein Zähler ist also kleiner als sein Nenner.
Bei $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}$ sind beide Faktoren kleiner als $1$. Das Ergebnis muss deshalb kleiner als $\frac{2}{3}$ und kleiner als $\frac{3}{5}$ sein.
$$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$
$\frac{2}{5}$ ist tatsächlich kleiner als beide Faktoren. Das Ergebnis ist plausibel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Brüche multiplizieren
- Anteil von einem Anteil verstehen
- Ganze Zahl als Bruch mit Nenner 1 schreiben
- Zähler miteinander multiplizieren
- Nenner miteinander multiplizieren
- Vor oder nach der Rechnung kürzen
- Größe des Ergebnisses prüfen
Abschluss-Check
Du kannst Brüche sicher multiplizieren, wenn du zuerst mögliche Kürzungen erkennst, dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst und das Ergebnis abschließend vereinfachst und auf Plausibilität prüfst.