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Kehrwert verstehen und sicher berechnen
Der Kehrwert einer Zahl ist die Zahl, mit der du multiplizieren musst, um $1$ zu erhalten. Für jede Zahl $x\neq 0$ ist der Kehrwert $\frac{1}{x}$. Bei einem Bruch vertauschst du dafür Zähler und Nenner. Auf dieser Seite lernst du nicht nur die Regel, sondern auch, warum sie funktioniert und wie du dein Ergebnis prüfst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Kehrwert?
Welche Zahl passt zu $\frac{3}{5}$, sodass das Produkt $1$ wird? Es ist $\frac{5}{3}$:
$$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=\frac{15}{15}=1$$
Kehrwert
Der Kehrwert einer Zahl $x\neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Bei einem Bruch $\frac{a}{b}$ mit $a\neq 0$ und $b\neq 0$ lautet er $\frac{b}{a}$. Zahl und Kehrwert ergeben miteinander multipliziert $1$.
Der Kehrwert wird auch Kehrbruch, Reziproke oder reziproke Zahl genannt. Er ist nicht dasselbe wie die Gegenzahl: Der Kehrwert von $4$ ist $\frac14$, die Gegenzahl von $4$ ist $-4$.
Kehrwert gehört zur Multiplikation: $x\cdot\frac1x=1$. Gegenzahl gehört zur Addition: $x+(-x)=0$.
So bildest du Kehrwerte in jeder Darstellung
Schreibe die Zahl zuerst als Bruch. Dann vertauschst du Zähler und Nenner. Das Vorzeichen bleibt dabei erhalten.
Bruch:
$$-\frac{2}{7}\longrightarrow-\frac{7}{2}$$
Die Kontrolle lautet $-\frac27\cdot\left(-\frac72\right)=1$.
Ganze Zahl:
$$8=\frac81\longrightarrow\frac18$$
Gemischte Zahl:
Wandle zuerst um:
$$2\frac13=\frac73\longrightarrow\frac37$$
Dezimalzahl:
$$0{,}4=\frac25\longrightarrow\frac52=2{,}5$$
Für leichte Zahlen rechnest du im Kopf: $5=\frac51$, also ist der Kehrwert $\frac15$. Bei einer Dezimalzahl hilft oft das Umwandeln in einen gekürzten Bruch. So wird aus $0{,}125=\frac18$ sofort der Kehrwert $8$.
Am Taschenrechner kannst du die Taste 1/x verwenden oder 1 ÷ (Zahl) eingeben. Setze bei negativen Zahlen und längeren Termen Klammern. Runde erst am Ende, weil ein früh gerundeter Wert die Probe verfälschen kann.
Die Zahlen $1$ und $-1$ sind ihre eigenen Kehrwerte: $1\cdot1=1$ und $(-1)\cdot(-1)=1$. Bei allen anderen reellen Zahlen unterscheidet sich der Kehrwert von der Ausgangszahl.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Kehrwert von $6$ ist . Der Kehrwert von $-\frac35$ ist . Vor dem Umdrehen wird $1\frac12$ zu . Der Kehrwert von $0{,}25$ ist {*$4$|$0{,}25$|$-4$}.
Warum null ausgeschlossen ist
Kann $0$ einen Kehrwert haben? Angenommen, es gäbe eine Zahl $y$ mit $0\cdot y=1$. Doch $0\cdot y$ ist für jede Zahl $y$ gleich $0$ und niemals $1$. Deshalb ist $\frac10$ nicht definiert.
Nur von einer Zahl ungleich $0$ darfst du den Kehrwert bilden. Ein Bruch mit Zähler $0$ hat daher keinen Kehrwert.
Bei $\frac05$ würde bloßes Vertauschen zu $\frac50$ führen. Dieser Ausdruck ist nicht definiert. Das zeigt, warum „einfach umdrehen“ ohne Nullprüfung keine vollständige Regel ist.
Warum Teilen zum Multiplizieren wird
Warum gilt „Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren“? Division fragt nach einem Faktor. Bei
$$\frac32:\frac42$$
suchen wir eine Zahl $q$, für die
$$\frac42\cdot q=\frac32$$
gilt. Multipliziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\frac24$ des Divisors $\frac42$:
$$\frac24\cdot\frac42\cdot q=\frac24\cdot\frac32$$
Links entsteht $1\cdot q$. Deshalb ist
$$q=\frac32\cdot\frac24=\frac68=\frac34$$
Genau darum ersetzt der Kehrwert die Division durch eine Multiplikation.
Berechne $\frac56:\frac23$.
- Der Divisor $\frac23$ ist nicht $0$ und hat den Kehrwert $\frac32$.
- Ersetze die Division: $\frac56\cdot\frac32$.
- Kürze vor dem Multiplizieren: $\frac56\cdot\frac32=\frac54$.
- Probe: $\frac54\cdot\frac23=\frac56$. Das Produkt aus Quotient und Divisor ergibt den Dividend.
Allgemein gilt, wenn die Nenner $b,d$ und der Zähler $c$ des Divisors nicht $0$ sind:
$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc$$
Reziproke Funktionen und ihr Definitionsbereich
Was passiert, wenn nicht nur eine einzelne Zahl, sondern jeder Funktionswert umgedreht wird? Aus einer Funktion $f$ entsteht die reziproke Funktion
$$r(x)=\frac1{f(x)}$$
Sie ist nur dort definiert, wo erstens $f$ selbst definiert ist und zweitens $f(x)\neq0$ gilt.
Für $f(x)=x-2$ lautet die reziproke Funktion
$$r(x)=\frac1{x-2}$$
Bei $x=2$ ist $f(2)=0$. Deshalb muss $x=2$ aus dem Definitionsbereich von $r$ ausgeschlossen werden.
Die grundlegende Kehrwertfunktion $k(x)=\frac1x$ hat den Definitionsbereich $x\neq0$. Positive Eingaben haben positive Kehrwerte, negative Eingaben negative. Ihr Graph ist eine Hyperbel und nähert sich den Achsen, erreicht aber weder $x=0$ noch den Funktionswert $0$.
Die reziproke Funktion $\frac1{f(x)}$ ist nicht automatisch die Umkehrfunktion von $f$. Bei der reziproken Funktion werden Funktionswerte zu Kehrwerten. Eine Umkehrfunktion vertauscht dagegen die Rollen von Eingabe und Ausgabe.
Fehler finden und Ergebnisse prüfen
Diese vier Fehler kommen besonders häufig vor:
- Beide Brüche umdrehen: Bei einer Division bleibt der Dividend stehen; nur der Divisor wird umgedreht.
- Minuszeichen verlieren: Der Kehrwert einer negativen Zahl bleibt negativ.
- Gemischte Zahl direkt vertauschen: Wandle sie zuerst in einen unechten Bruch um.
- Null übersehen: Prüfe vor jedem Umdrehen, ob die Zahl oder der Divisor $0$ ist.
Du kannst dein Ergebnis auf drei Arten prüfen:
- Produktprobe beim Kehrwert: Ausgangszahl mal Ergebnis muss $1$ sein.
- Umkehrprobe bei der Division: Quotient mal Divisor muss den Dividend ergeben.
- Plausibilität: Für $x\gt1$ liegt $\frac1x$ zwischen $0$ und $1$. Für $0\lt x\lt1$ ist $\frac1x\gt1$.
Jemand schreibt: „Der Kehrwert von $-2\frac12$ ist $\frac25$.“
Die Umwandlung lautet $-2\frac12=-\frac52$. Beim Kehrwert bleibt das Minuszeichen erhalten. Richtig ist daher $-\frac25$. Die Produktprobe bestätigt das:
$$-\frac52\cdot\left(-\frac25\right)=1$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kehrwert
- Bedeutung: multiplikative Ergänzung zu $1$
- Bildung: als Bruch schreiben und Zähler mit Nenner vertauschen
- Grenze: $0$ besitzt keinen Kehrwert
- Vorzeichen: positiv bleibt positiv, negativ bleibt negativ
- Bruchdivision: mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren
- Funktion: $\frac1{f(x)}$ nur für $f(x)\neq0$
- Kontrolle: Produktprobe und Plausibilitätscheck