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Brüche dividieren: Kehrwertregel einfach erklärt
Beim Dividieren von Brüchen bleibt der erste Bruch unverändert. Den zweiten Bruch drehst du um und multiplizierst anschließend. Das nennt man Multiplikation mit dem Kehrwert.
Auf dieser Seite lernst du die Regel, ihre Bedingungen und ihre Anwendung auf Brüche, ganze Zahlen und gemischte Zahlen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet das Dividieren von Brüchen?
Eine Division fragt, wie oft eine Zahl in eine andere passt. Zum Beispiel passt $\frac{1}{4}$ genau zweimal in $\frac{1}{2}$:
$$\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=2$$
Für die Rechnung brauchst du den Kehrwert des zweiten Bruchs.
Kehrwert
Den Kehrwert eines Bruchs bildest du, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist also $\frac{4}{3}$.
Die Zahl $0$ hat keinen Kehrwert. Deshalb darf der zweite Bruch, also der Divisor, nicht $0$ sein.
Nur der zweite Bruch wird umgedreht. Der erste Bruch bleibt stehen.
So wendest du die Kehrwertregel an
Für zwei Brüche gilt:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$
Dabei dürfen die Nenner $b$ und $d$ nicht $0$ sein. Außerdem muss $c$ ungleich $0$ sein, weil der zweite Bruch sonst den Wert $0$ hätte.
Gehe in drei Schritten vor:
- Lass den ersten Bruch unverändert.
- Bilde den Kehrwert des zweiten Bruchs.
- Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Kürze das Ergebnis, wenn möglich.
Berechne $\frac{2}{3}:\frac{1}{5}$.
1. Zweiten Bruch umdrehen: Der Kehrwert von $\frac{1}{5}$ ist $\frac{5}{1}$.
2. Divisionszeichen durch ein Malzeichen ersetzen:
$$\frac{2}{3}:\frac{1}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1}$$
3. Multiplizieren:
$$\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1}=\frac{2\cdot5}{3\cdot1}=\frac{10}{3}$$
Das Ergebnis ist $\frac{10}{3}$, also als gemischte Zahl $3\frac{1}{3}$.
Probe: Multipliziere das Ergebnis mit dem ursprünglichen Divisor:
$$\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$
Die Probe führt zum ersten Bruch zurück. Das Ergebnis stimmt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Dividieren bleibt der Bruch unverändert. Vom Bruch wird der Kehrwert gebildet. Danach werden die Brüche .
Wie teilst du einen Bruch durch eine ganze Zahl?
Schreibe die ganze Zahl zuerst als Bruch mit dem Nenner $1$. Danach gilt dieselbe Kehrwertregel.
$$\frac{a}{b}:c=\frac{a}{b}:\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$$
Auch hier darf $c$ nicht $0$ sein.
Berechne $\frac{3}{5}:2$.
Schreibe zuerst $2$ als $\frac{2}{1}$ und bilde dann den Kehrwert:
$$\frac{3}{5}:2=\frac{3}{5}:\frac{2}{1}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$$
Beim Teilen eines Bruchs durch eine ganze Zahl wird sein Nenner mit dieser Zahl multipliziert. Das gilt, weil der Kehrwert von $\frac{2}{1}$ gleich $\frac{1}{2}$ ist.
Wie rechnest du mit gemischten Zahlen?
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, zum Beispiel $1\frac{1}{2}$. Vor dem Dividieren wandelst du sie in einen unechten Bruch um.
So wandelst du $1\frac{1}{2}$ um:
- Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner: $1\cdot2=2$.
- Addiere den Zähler: $2+1=3$.
- Schreibe die Summe über den unveränderten Nenner: $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
Berechne $1\frac{1}{2}:\frac{3}{4}$.
Zuerst wird die gemischte Zahl umgewandelt:
$$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$
Dann bildest du den Kehrwert des zweiten Bruchs und multiplizierst:
$$\frac{3}{2}:\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}$$
Du kannst vor dem Multiplizieren die beiden Dreien kürzen:
$$\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}=\frac{4}{2}=2$$
Also gilt $1\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=2$.
Du darfst gemeinsame Faktoren vor oder nach dem Multiplizieren kürzen. Kürzen verändert den Wert eines Bruchs nicht, macht die Rechnung aber oft einfacher.
Üben und typische Fehler vermeiden
Achte bei jeder Rechnung auf diese Fehlerquellen:
- Drehe nicht den ersten oder beide Brüche um.
- Addiere Zähler und Nenner nicht miteinander.
- Teile niemals durch $0$.
- Vergiss nicht, ein kürzbares Ergebnis zu vereinfachen.
Aufgaben
Berechne und kürze vollständig:
- $\frac{12}{8}:6$
- $\frac{1}{9}:\frac{1}{3}$
- $\frac{7}{3}:2$
- $\frac{2}{5}:\frac{1}{3}$
Lösungen
- Schreibe $6$ als $\frac{6}{1}$ und multipliziere mit $\frac{1}{6}$:
$$\frac{12}{8}:6=\frac{12}{8}\cdot\frac{1}{6}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$$
- Der Kehrwert von $\frac{1}{3}$ ist $\frac{3}{1}$:
$$\frac{1}{9}:\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$
- Schreibe $2$ als $\frac{2}{1}$:
$$\frac{7}{3}:2=\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$$
- Der Kehrwert von $\frac{1}{3}$ ist $\frac{3}{1}$:
$$\frac{2}{5}:\frac{1}{3}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{1}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Brüche dividieren
- Kehrwertregel
- erster Bruch bleibt stehen
- zweiter Bruch wird umgedreht
- anschließend multiplizieren
- Zahlen vorbereiten
- ganze Zahl als Bruch mit Nenner 1
- gemischte Zahl als unechten Bruch
- Ergebnis prüfen
- vollständig kürzen
- Probe durch Rückmultiplikation
- Division durch 0 ausschließen
- Kehrwertregel
Abschluss-Check
Wenn du beim Rechnen konsequent stehen lassen – umdrehen – multiplizieren anwendest, anschließend kürzt und eine Probe machst, kannst du Bruchdivisionen sicher lösen.