Mit Google fortfahren
Dezimalzahl in Bruch umwandeln – einfach erklärt
Eine Dezimalzahl lässt sich als Bruch schreiben, wenn ihre Nachkommastellen enden oder sich regelmäßig wiederholen. Zuerst bestimmst du den Zahlentyp. Danach bildest du den passenden Nenner und kürzt den Bruch.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zuerst den Zahlentyp erkennen
Die Nachkommastellen entscheiden über das Verfahren.
Endliche Dezimalzahl
Eine endliche Dezimalzahl besitzt nur endlich viele Nachkommastellen, zum Beispiel $0{,}75$ oder $3{,}482$.
Rein periodische Dezimalzahl
Bei einer rein periodischen Dezimalzahl wiederholt sich die gesamte Ziffernfolge hinter dem Komma. Die wiederholte Ziffer oder Zifferngruppe heißt Periode. Beispiele sind $0{,}\overline{7}$ und $2{,}\overline{45}$.
Gemischtperiodische Dezimalzahl
Bei einer gemischtperiodischen Dezimalzahl stehen zuerst eine oder mehrere nichtperiodische Nachkommastellen. Erst danach beginnt die Periode, zum Beispiel $3{,}1\overline{45}$.
Eine unendliche Dezimalzahl ohne regelmäßige Wiederholung lässt sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen. Ein Beispiel dafür ist $\pi$.
Endliche Dezimalzahlen umwandeln
Bei einer endlichen Dezimalzahl gehst du in drei Schritten vor:
- Entferne das Komma und schreibe die entstehende Zahl in den Zähler.
- Schreibe eine $1$ mit so vielen Nullen in den Nenner, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat.
- Kürze Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler.
Wandle $0{,}75$ um.
Die Zahl hat zwei Nachkommastellen. Deshalb lautet der Nenner $100$:
$$0{,}75 = \frac{75}{100}$$
Zähler und Nenner sind durch $25$ teilbar:
$$\frac{75}{100} = \frac{75:25}{100:25} = \frac{3}{4}$$
Damit gilt $0{,}75 = \frac{3}{4}$.
Bei $3{,}482$ ergeben drei Nachkommastellen den Nenner $1000$:
$$3{,}482 = \frac{3482}{1000} = \frac{1741}{500}$$
Im letzten Schritt wurden Zähler und Nenner durch $2$ geteilt.
Bei endlichen Dezimalzahlen bestimmt die Anzahl der Nachkommastellen die Anzahl der Nullen im Nenner.
Rein periodische Dezimalzahlen umwandeln
Schreibe die Ziffern der Periode in den Zähler. Für jede Periodenziffer kommt eine $9$ in den Nenner. Kürze anschließend. Eine ganze Zahl vor dem Komma wird danach addiert.
Bei $0{,}\overline{36}$ besteht die Periode aus zwei Ziffern. Deshalb stehen zwei Neunen im Nenner:
$$0{,}\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$$
Zähler und Nenner wurden durch $9$ geteilt.
Bei $2{,}\overline{7}$ ist $2$ der ganzzahlige Teil. Die Periode $7$ ergibt $\frac{7}{9}$:
$$2{,}\overline{7} = 2 + \frac{7}{9} = \frac{18}{9} + \frac{7}{9} = \frac{25}{9}$$
Eine Periodenziffer ergibt den Nenner $9$, zwei Periodenziffern ergeben $99$. Der Überstrich zeigt genau, welche Ziffern sich wiederholen.
Gemischtperiodische Dezimalzahlen umwandeln
Vor der Periode steht hier ein nichtperiodischer Teil. Verschiebe deshalb das Komma zunächst so weit nach rechts, bis die Periode direkt hinter dem Komma beginnt.
- Multipliziere für jede nichtperiodische Nachkommastelle einmal mit $10$.
- Wandle die nun rein periodische Dezimalzahl um.
- Teile durch dieselbe Zehnerpotenz, um die anfängliche Verschiebung rückgängig zu machen.
- Kürze das Ergebnis.
Wandle $x = 3{,}1\overline{45}$ um.
Vor der Periode steht eine nichtperiodische Nachkommastelle. Daher multiplizierst du einmal mit $10$:
$$10x = 31{,}\overline{45}$$
Die Periode $45$ ergibt $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$. Damit gilt:
$$10x = 31 + \frac{5}{11} = \frac{346}{11}$$
Nun machst du die Multiplikation mit $10$ rückgängig:
$$x = \frac{346}{110} = \frac{173}{55}$$
Also ist $3{,}1\overline{45} = \frac{173}{55}$.
Mit einem Entscheidungsplan sicher rechnen
Nutze bei jeder Aufgabe diese Reihenfolge:
- Zahlentyp bestimmen: Endet die Dezimalzahl oder wiederholt sich etwas?
- Muster markieren: Bei einer periodischen Zahl musst du genau erkennen, wo die Periode beginnt und wie lang sie ist.
- Nenner bilden: Nullen gehören zu endlichen Stellen, Neunen zu Periodenziffern.
- Verschiebung rückgängig machen: Bei einer gemischtperiodischen Zahl teilst du durch die anfangs verwendete Zehnerpotenz.
- Kürzen und prüfen: Teile Zähler durch Nenner. Als Dezimalzahl muss wieder der Ausgangswert entstehen.
Ein häufiger Fehler ist, $0{,}36$ und $0{,}\overline{36}$ gleich zu behandeln. Die endliche Zahl ergibt zunächst $\frac{36}{100}$, die periodische Zahl dagegen $\frac{36}{99}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer endlichen Dezimalzahl stehen im Nenner passend viele . Bei einer rein periodischen Zahl stehen dort passend viele . Bei einer gemischtperiodischen Zahl wird zuerst der vor die Periode verschoben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dezimalzahl in Bruch umwandeln
- Zahlentyp erkennen
- endlich
- rein periodisch
- gemischtperiodisch
- Nenner bilden
- Nullen für endliche Stellen
- Neunen für Periodenziffern
- Gemischte Periode behandeln
- Komma bis vor die Periode verschieben
- Verschiebung am Ende rückgängig machen
- Ergebnis sichern
- vollständig kürzen
- durch Division prüfen
- Zahlentyp erkennen
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du den Zahlentyp begründen, den passenden Nenner bilden, vollständig kürzen und dein Ergebnis durch Rückumwandlung prüfen kannst.