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Periodische Dezimalzahlen erkennen und umwandeln
Eine periodische Dezimalzahl hat nach dem Komma eine Ziffer oder Zifferngruppe, die sich ohne Ende wiederholt. Der Periodenstrich markiert genau diesen Teil. Hier lernst du, periodische Zahlen zu erkennen und exakt als Bruch zu schreiben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Periode?
Periode
Die Periode ist die Ziffer oder Zifferngruppe, die sich nach dem Komma unendlich oft wiederholt. Der Periodenstrich steht nur über dieser Folge. Die Periodenlänge ist die Anzahl der Ziffern unter dem Strich.
So bedeutet
$$0,\overline{45}=0,45454545\ldots$$
Die Periode ist $45$ und ihre Länge ist $2$.
Nicht jede Zahl mit gleichen Nachkommastellen ist periodisch: $0,33333$ endet nach fünf Stellen. Erst $0,33333\ldots$ oder $0,\overline{3}$ zeigt, dass die $3$ ohne Ende weitergeht.
Bei einer reinperiodischen Zahl beginnt die Periode direkt nach dem Komma, zum Beispiel $0,\overline{23}$. Bei einer gemischtperiodischen Zahl stehen zuerst nichtperiodische Nachkommastellen, zum Beispiel $0,1\overline{2}$. Die $1$ gehört nicht zur Periode.
Warum entstehen Perioden?
Ein Bruch ist eine Division: $\frac{2}{3}$ bedeutet $2:3$. Bei dieser schriftlichen Division kehrt derselbe Rest immer wieder. Dann wiederholen sich auch dieselben Rechenschritte und Ergebnisziffern.
$$\frac{2}{3}=0,6666\ldots=0,\overline{6}$$
Bei einem festen Nenner gibt es nur endlich viele mögliche Reste. Entweder wird der Rest $0$ und die Dezimaldarstellung endet, oder ein früherer Rest kehrt wieder und eine Periode entsteht.
Eine Periode kann mehrere Ziffern haben:
$$\frac{6}{11}=0,\overline{54}$$
Auch eine Vorperiode kann entstehen:
$$\frac{5}{6}=0,8\overline{3}$$
Hier kommt zuerst die nichtperiodische Ziffer $8$; danach wiederholt sich nur die $3$.
Eine endliche Zahl wie $0,8$ hört auf. Eine periodische Zahl wie $0,\overline{8}$ wiederholt sich ohne Ende. Der Periodenstrich macht den Unterschied sichtbar.
Wie wird eine reinperiodische Zahl zum Bruch?
Schreibe die Periodenziffern als ganze Zahl in den Zähler. In den Nenner kommen genauso viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat.
Wandle $0,\overline{23}$ um.
- Die Periode $23$ hat zwei Ziffern.
- Deshalb hat der Nenner zwei Neunen: $99$.
- Die Periodenziffern bilden den Zähler: $23$.
$$0,\overline{23}=\frac{23}{99}$$
Der Bruch liegt zwischen $0$ und $1$. Das passt zur Ausgangszahl.
Eine führende Null zählt zur Periodenlänge, aber nicht zum Wert des Zählers:
$$0,\overline{089}=\frac{89}{999}$$
Die Periode $089$ hat drei Stellen, also brauchst du drei Neunen.
Steht vor dem Komma eine ganze Zahl, trennst du beide Teile:
$$1,\overline{2}=1+0,\overline{2}=\frac{9}{9}+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}$$
Wie wird eine gemischtperiodische Zahl zum Bruch?
Verschiebe das Komma zuerst so weit nach rechts, dass die Periode direkt nach dem Komma beginnt. Multipliziere dafür mit $10$, $100$ oder einer passenden weiteren Zehnerpotenz. Wandle danach die reinperiodische Zahl um und mache die Multiplikation rückgängig.
Wandle $0,4\overline{6}$ um.
- Vor der Periode steht eine Nachkommastelle. Multipliziere mit $10$:
$$0,4\overline{6}\cdot 10=4,\overline{6}$$
- Wandle die reinperiodische Zahl um:
$$4,\overline{6}=4+\frac{6}{9}=\frac{42}{9}$$
- Dividiere wieder durch $10$:
$$0,4\overline{6}=\frac{42}{9}:10=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}$$
Die Ausgangszahl liegt zwischen $0,4$ und $0,5$. Auch $\frac{7}{15}$ liegt dort; das Ergebnis ist plausibel.
Bei $0,12\overline{3}$ stehen zwei Stellen vor der Periode. Deshalb multiplizierst du zuerst mit $100$:
$$0,12\overline{3}\cdot 100=12,\overline{3}$$
Dann gilt
$$12,\overline{3}=12+\frac{3}{9}=\frac{111}{9}$$
und nach der Division durch $100$:
$$0,12\overline{3}=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Periodische Dezimalzahl
- erkennen: unendliche Wiederholung unter dem Periodenstrich
- einordnen: reinperiodisch oder gemischtperiodisch
- erklären: ein Divisionsrest kehrt wieder
- reinperiodisch umwandeln: Periodenziffern über gleich viele Neunen
- gemischtperiodisch umwandeln: Komma verschieben, umwandeln, zurückrechnen
- prüfen: kürzen und Größenordnung vergleichen
Abschluss-Check
Du kannst nun die Periode ablesen, die Art der Zahl bestimmen und rein- sowie gemischtperiodische Zahlen schrittweise als Bruch schreiben.