Obertöne verstehen, berechnen und hören

Ein musikalischer Ton wird häufig als eine einzige Tonhöhe wahrgenommen. Akustisch besteht er jedoch meist aus mehreren gleichzeitig schwingenden Bestandteilen.

Die Frequenz gibt an, wie oft sich eine Schwingung pro Sekunde wiederholt. Ihre Einheit heißt Hertz (Hz): 110 Hz bedeuten 110 Schwingungen pro Sekunde. Eine Sinusschwingung ist eine gleichmäßig verlaufende, wellenförmige Schwingung mit nur einer Frequenz.

Für die folgende Zählung betrachten wir die vollständige harmonische Reihe mit vorhandenem Grundton. Die Zählweisen unterscheiden sich deshalb um eins:

Ein harmonischer Teilton besitzt eine Frequenz, die ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist. Ein unharmonischer Teilton passt nicht in diese Folge. In einem realen Klang können einzelne Harmonische fehlen oder sehr schwach sein; die Nummer ihrer Position in der harmonischen Reihe bleibt trotzdem bestehen.

Für eine positive Grundfrequenz $f_0$ und die Teiltonnummer $n$ in der vollständigen harmonischen Reihe gilt:

$$f_n=n\cdot f_0$$

Dabei ist $f_n$ die Frequenz des gesuchten Teiltons. Weil $n$ eine positive ganze Zahl ist, entstehen die Frequenzen $f_0$, $2f_0$, $3f_0$ und so weiter.

Auch der Abstand zweier aufeinanderfolgender Positionen der harmonischen Reihe lässt sich bestimmen:

$$f_{n+1}-f_n=(n+1)f_0-nf_0=f_0$$

Bei 110 Hz Grundfrequenz beträgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Teiltönen daher immer 110 Hz.

Ein Intervall ist der musikalische Abstand zwischen zwei Tonhöhen. Der Abstand von 100 Hz zu 200 Hz beträgt 100 Hz. Auch von 200 Hz zu 300 Hz sind es 100 Hz. Trotzdem hörst du nicht dasselbe musikalische Intervall, denn Intervalle beruhen auf Frequenzverhältnissen. Hier teilst du stets die höhere durch die tiefere Frequenz:

• $200:100=2:1$ entspricht einer Oktave.
• $300:200=3:2$ entspricht einer reinen Quinte.
• $5:4$ entspricht einer großen Terz in reiner Stimmung.

Die benachbarten harmonischen Teiltöne haben gleiche absolute Frequenzabstände. Ihre Verhältnisse rücken nach oben aber immer näher an $1:1$: Der gleiche Hertz-Zuwachs macht bei einer höheren Ausgangsfrequenz einen kleineren Anteil aus. Deshalb werden die wahrgenommenen Intervalle zwischen ihnen kleiner.

Auf einer linearen Frequenzachse haben gleiche Hertz-Differenzen gleiche Abstände. Auf einer logarithmischen Frequenzachse haben gleiche Verhältnisse gleiche Abstände: Die Oktave von 100 auf 200 Hz nimmt dort genauso viel Platz ein wie die von 200 auf 400 Hz.

Die Klangfarbe hilft dir, zwei Instrumente oder Stimmen trotz gleicher Tonhöhe und Lautstärke zu unterscheiden. Entscheidend ist nicht nur, welche Teiltöne vorkommen, sondern auch, wie laut sie im Verhältnis zueinander sind.

Viele starke hohe Teiltöne lassen einen Klang tendenziell brillanter oder schärfer wirken. Schwächere hohe Anteile können einen Klang eher weich oder dumpf erscheinen lassen. Das sind Tendenzen, keine festen Geschmacksurteile.

Ein Spektrum zeigt die enthaltenen Frequenzen und ihre Stärke während eines ausgewählten Zeitabschnitts. Ein Spektrogramm zeigt zusätzlich, wie sich diese Verteilung mit der Zeit verändert.

Zur Klangfarbe tragen außerdem bei:

• das Einschwingen, also den Klangbeginn, und das anschließende Verklingen,
• Änderungen der Teiltonlautstärken,
• Geräusche beim Anschlagen oder Anblasen,
• verstärkte Frequenzbereiche, etwa die Formanten der Stimme: Das sind ausgeprägte Bereiche im Spektrum, die durch Resonanzen in Mund und Rachen entstehen.

Normalerweise verschmelzen die Teiltöne zu einem Gesamtklang. Resonanz kann einzelne Bestandteile deutlicher hörbar machen.

Ein Versuch an einem akustischen Klavier mit Saiten nutzt diesen Zusammenhang. Verwende zwei gleichnamige Töne im mittleren Bereich der Tastatur, die eine Oktave auseinanderliegen, und lass die Pedale los. Ein Dämpfer ist ein Filzstück, das die zugehörigen Saiten am freien Weiterschwingen hindert.

1. Drücke die höhere Klaviertaste langsam und lautlos herunter. Dadurch hebt sich ihr Dämpfer, ohne dass der Hammer die Saite anschlägt.
2. Halte die Taste gedrückt.
3. Spiele den gleichnamigen Ton eine Oktave tiefer kurz und kräftig.
4. Lass den tiefen Ton los und höre auf die zuvor stumm freigegebene höhere Saite.

Die höhere Saite kann nachklingen, weil ihre eigene Schwingungsfrequenz nahe beim 2. Teilton des tieferen Tons liegt. Sie wurde durch Resonanz angeregt.

Auch beim Flageolettspiel auf Saiteninstrumenten können hohe Teiltöne hervortreten: Du berührst die Saite an geeigneten Stellen nur leicht, statt sie auf das Griffbrett zu drücken. Dadurch unterdrückst du bestimmte Schwingungen und lässt andere deutlicher erklingen.

Obertongesang bedeutet nicht bloß Gesang mit Obertönen: Gewöhnlicher Gesang besitzt ebenfalls Obertöne. Beim Obertongesang werden ausgewählte hohe Teiltöne durch Resonanzen so hervorgehoben, dass du sie wie einen zusätzlichen Ton hören kannst.

Die Formel $f_n=n\cdot f_0$ ist ein nützliches Idealmodell für harmonische Klänge. Reale Instrumente können davon abweichen.

• Steife Klaviersaiten erzeugen leicht verschobene Teiltonfrequenzen. Diese Abweichung heißt Inharmonizität.
• Trommeln, Glocken, Platten und Stäbe können viele unharmonische Teiltöne besitzen.
• Anschlag- und Anblasgeräusche passen nicht vollständig in eine harmonische Reihe.
• Kurze oder schnell veränderliche Töne besitzen kein vollkommen gleichbleibendes Spektrum.
• Die wahrgenommene Tonhöhe muss bei komplexen Klängen nicht einfach dem tiefsten gemessenen Teilton entsprechen. Sogar wenn die Grundfrequenz im Spektrum fehlt, kann das Gehör aus den übrigen harmonischen Bestandteilen die zugehörige Tonhöhe erkennen.

Auch reine Stimmung und gleichstufige Stimmung unterscheiden sich: Reine Intervalle wie Quinte und große Terz verwenden die einfachen Frequenzverhältnisse $3:2$ und $5:4$. Die gleichstufige Stimmung teilt eine Oktave dagegen in zwölf Halbtonschritte mit jeweils gleichem Frequenzverhältnis. Ihre Quinte und große Terz weichen daher etwas von diesen reinen Verhältnissen ab. Der Vergleich betrifft die ideale gleichstufige Stimmung; reale Klaviere werden zusätzlich an die Eigenschaften ihrer Saiten angepasst.

Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, kannst du Obertöne benennen, berechnen und zur Erklärung realer Klänge nutzen. Entscheidend ist dabei die Unterscheidung zwischen dem klaren harmonischen Modell und den vielfältigeren Eigenschaften wirklicher Schallereignisse.