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Relativitätstheorie: Raum, Zeit und Gravitation
Die Relativitätstheorie beschreibt Raum und Zeit nicht als starre Bühne. Gleichförmige Bewegung verändert gemessene Zeitspannen, Längen und Gleichzeitigkeit; Masse und Energie krümmen die Raumzeit und erzeugen so Gravitation.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zwei Theorien für unterschiedliche Fragen
Ein Raumschiff fliegt gleichförmig an der Erde vorbei. Ein Planet verändert dagegen die Bewegung eines Satelliten. Für die erste Situation brauchst du die spezielle Relativitätstheorie, für die zweite die allgemeine Relativitätstheorie.
Inertialsystem
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem sich ein kräftefreier Körper geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Gleichförmig relativ zueinander bewegte Inertialsysteme sind gleichberechtigt.
| Theorie | Leitfrage | Geltungsbereich |
|---|---|---|
| Spezielle Relativitätstheorie | Wie hängen Raum- und Zeitmessungen von gleichförmiger Relativbewegung ab? | Inertialsysteme; keine Gravitation |
| Allgemeine Relativitätstheorie | Wie beeinflussen Materie und Energie die Raumzeit? | Gravitation und beschleunigte Bezugssysteme |
„Relativ“ bedeutet nicht „beliebig“. Unterschiedliche Messwerte sind durch genaue Gesetze verknüpft.
Zwei Postulate ändern Raum und Zeit
Warum kann niemand einen Lichtstrahl einholen? Die spezielle Relativitätstheorie beginnt mit zwei Postulaten:
- Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form.
- Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Alle Beobachtenden in Inertialsystemen messen für Licht im Vakuum $c = 299\,792\,458\,\text{m/s}$, unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle.
Klassisch würdest du Geschwindigkeiten addieren. Für Licht funktioniert das nicht. Damit beide Postulate gelten, müssen räumliche und zeitliche Abstände vom Inertialsystem abhängen.
Eine Person am Gleis und eine Person im gleichförmig fahrenden Zug messen denselben Lichtpuls. Obwohl sie sich relativ zueinander bewegen, erhalten beide den Wert $c$. Deshalb ordnen sie Ereignissen unterschiedliche Raum- und Zeitkoordinaten zu.
Gleichzeitigkeit hängt vom Inertialsystem ab
Können zwei räumlich getrennte Ereignisse für alle gleichzeitig sein? Nein. Gleichzeitigkeit hängt davon ab, wie Uhren im jeweiligen Inertialsystem synchronisiert sind.
Zwei Blitze treffen Vorder- und Hinterende eines fahrenden Zuges, im Gleissystem gleichzeitig. Eine Person in der Mitte am Gleis empfängt beide Lichtsignale gleichzeitig, weil die Einschlagorte gleich weit entfernt sind.
Die Person in der Zugmitte bewegt sich dem vorderen Signal entgegen und vom hinteren weg. Sie empfängt das vordere Signal zuerst. Da Licht in ihrem System aus beiden Richtungen gleich schnell ist, folgert sie: Die Einschläge waren im Zugsystem nicht gleichzeitig.
Das ist nicht bloß ein verzögerter Blick. Nach Berücksichtigung der Lichtlaufzeit bleiben die Urteile über Gleichzeitigkeit verschieden.
Trenne das Ereignis, die Laufzeit seines Lichtsignals und die Zeitkoordinate, die ein Inertialsystem dem Ereignis zuordnet.
Zeitdilatation und Längenkontraktion berechnen
Für eine Relativgeschwindigkeit $v$ verwendest du den Lorentzfaktor
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
Für $0 \leq v \lt c$ gilt $\gamma \geq 1$. Bei Alltagsgeschwindigkeiten liegt $\gamma$ fast bei 1.
Eigenzeit
Die Eigenzeit $\Delta \tau$ misst eine Uhr zwischen zwei Ereignissen an ihrem eigenen Ort. In einem System, in dem diese Uhr bewegt ist, gilt $\Delta t = \gamma \Delta \tau$.
Eigenlänge
Die Eigenlänge $L_0$ ist die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem. Ein System, in dem er sich bewegt, misst parallel zur Bewegung gleichzeitig an beiden Enden $L = L_0/\gamma$.
Ein Raumschiff fliegt mit $v = 0{,}6c$. Seine Uhr misst $\Delta \tau = 4{,}0\,\mu\text{s}$.
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = 1{,}25.$$
Damit misst das Erdsystem
$$\Delta t = 1{,}25 \cdot 4{,}0\,\mu\text{s} = 5{,}0\,\mu\text{s}.$$
Ist das Schiff in Ruhe $L_0 = 100\,\text{m}$ lang, misst die Erde parallel zur Bewegung
$$L = \frac{100\,\text{m}}{1{,}25} = 80\,\text{m}.$$
Die bewegte Uhr zeigt zwischen den gewählten Ereignissen weniger Zeit; die bewegte Länge ist nur in Bewegungsrichtung verkürzt.
Jedes Inertialsystem kann die jeweils andere bewegte Uhr als langsamer beurteilen. Das ist kein Widerspruch: Wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit vergleichen die Systeme bei räumlich getrennten Uhren unterschiedliche Ereignispaare. Treffen Uhren wieder zusammen, lassen sich ihre Eigenzeiten direkt vergleichen; dafür muss mindestens eine Uhr ihr Inertialsystem wechseln.
Masse und Energie gehören zusammen
Für einen Körper der Ruhemasse $m$ lautet die Ruheenergie
$$E_0 = mc^2.$$
Die Formel beschreibt nicht einfach die gesamte Energie eines bewegten Körpers. Sie bezeichnet die Energie, die bereits zur Ruhemasse gehört.
Für $m = 1{,}0\,\text{g} = 0{,}001\,\text{kg}$ gilt
$$E_0 = 0{,}001\,\text{kg} \cdot (299\,792\,458\,\text{m/s})^2 \approx 8{,}99 \cdot 10^{13}\,\text{J}.$$
Der große Faktor $c^2$ erklärt, warum eine kleine Massedifferenz viel Energie entspricht. In realen Vorgängen wird gewöhnlich nur eine Massedifferenz umgewandelt, nicht die gesamte Masse eines Gegenstands.
Gravitation als Geometrie der Raumzeit
Warum kreist ein Planet um einen Stern? Materie und Energie beeinflussen die vierdimensionale Raumzeit. Körper und Licht folgen darin den geradestmöglichen Bahnen, den Geodäten. So beschreibt die allgemeine Relativitätstheorie Gravitation als Geometrie.
Ein gespanntes Tuch mit einer schweren Kugel kann veranschaulichen, dass Masse die Umgebung und dadurch andere Bahnen verändert. Die Analogie ist begrenzt: Das Tuch ist zweidimensional, wird durch irdische Gravitation nach unten gezogen und zeigt nicht die vollständige Raumzeit.
Die Theorie sagt unter anderem Lichtablenkung, schwarze Löcher, Gravitationswellen und unterschiedlich schnell gehende Uhren in unterschiedlich starken Gravitationsfeldern voraus.
Bei Satellitennavigation wirken beide Theorien: Bewegung erzeugt eine spezielle-relativistische Zeitabweichung, die andere Stärke des Gravitationsfeldes eine allgemeine-relativistische. Ohne Korrekturen würden sich Positionsfehler aufbauen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Relativitätstheorie
- Spezielle Relativitätstheorie
- Konstantes $c$ und Relativitätsprinzip
- Gleichzeitigkeit, Zeitdilatation, Längenkontraktion
- Ruheenergie
- Allgemeine Relativitätstheorie
- Materie und Energie krümmen Raumzeit
- Materie und Licht folgen Geodäten
- Gravitation beeinflusst Uhren
- Prüfung und Anwendung
- Teilchen und Präzisionsuhren
- Satellitennavigation
- Lichtablenkung und Gravitationswellen
- Spezielle Relativitätstheorie