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Spezielle Relativitätstheorie: Zeit und Länge berechnen
Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt, wie bewegte Beobachter Zeit, Länge und Gleichzeitigkeit messen. Ihr überraschender Ausgangspunkt: In allen gleichförmig bewegten Bezugssystemen gelten dieselben Naturgesetze, und alle Inertialbeobachter messen für Licht im Vakuum dieselbe Geschwindigkeit.
Auf dieser Seite lernst du, Zeitdilatation und Längenkontraktion zu verstehen, einfache Aufgaben mit dem Lorentzfaktor zu lösen und Masse und Energie zu verknüpfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Grundprinzipien gelten?
Ein Bezugssystem legt fest, relativ wozu du Orte, Zeiten und Bewegungen angibst. Stell dir einen idealisierten Zug vor, der ohne Ruckeln geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Durch Experimente allein im geschlossenen Wagen kannst du keine absolute Ruhe oder gleichförmige Bewegung feststellen. Zug und Strecke betrachten wir hier näherungsweise als Inertialsysteme; Einflüsse der Erdrotation und der Gravitation auf die Zeitmessung vernachlässigen wir.
Inertialsystem
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein Körper ohne resultierende Kraft in Ruhe bleibt oder sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Ein System, das sich relativ dazu geradlinig und gleichförmig bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem. Ein bremsender oder durch eine Kurve fahrender Zug ist dagegen kein Inertialsystem.
Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Grundprinzipien:
- Relativitätsprinzip: Die physikalischen Gesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Gestalt.
- Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Jeder Inertialbeobachter misst für Licht im Vakuum den Wert $c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s}$ – unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle oder des Beobachters.
Klassisch würdest du bei gleichgerichteten Bewegungen Geschwindigkeiten addieren: Fährt ein Zug mit $v$ relativ zur Strecke und bewegt sich darin ein Körper mit $u'$ nach vorn, ergäbe sich $u=u'+v$ relativ zur Strecke. Für Licht würde das dem zweiten Grundprinzip widersprechen. Relativistisch gilt stattdessen:
$$u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}$$
Dabei bezeichnet $u'$ die Geschwindigkeit im Zug, $u$ die Geschwindigkeit relativ zur Strecke und $v$ die Zuggeschwindigkeit mit $0\leq v\lt c$. Alle Bewegungen verlaufen hier entlang derselben Geraden. Setzt du für $u'$ die Lichtgeschwindigkeit $c$ ein, erhältst du wieder $u=c$, denn $c+v=c(1+v/c)$. Kein Inertialbeobachter kann einen Lichtstrahl einholen.
Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist für alle Inertialbeobachter gleich. Ihre Raum- und Zeitmessungen hängen so zusammen, dass jeder denselben Wert für $c$ erhält.
Warum ist Gleichzeitigkeit relativ?
Ein Ereignis ist etwas, das an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit geschieht, etwa ein Blitzeinschlag. Synchronisierte Uhren sind innerhalb eines Bezugssystems so aufeinander abgestimmt, dass sie dieselbe Systemzeit anzeigen; dabei werden Lichtlaufzeiten berücksichtigt.
Zwei räumlich getrennte Ereignisse sind in einem Inertialsystem gleichzeitig, wenn synchronisierte Uhren dieses Systems für beide Ereignisse dieselbe Zeit anzeigen. Ein anderes, relativ dazu bewegtes Inertialsystem kann den Ereignissen unterschiedliche Zeiten zuordnen.
In einem Gedankenexperiment fährt der Zug geradlinig nach vorn. Zwei Blitze treffen seine Enden im Streckensystem gleichzeitig, genau während seine Mitte an der Person an der Strecke vorbeifährt. Eine Person an der Strecke befindet sich genau in der Mitte der Einschlagorte und empfängt beide Lichtsignale gleichzeitig. Sie beurteilt die Einschläge als gleichzeitig.
Aus Sicht der Strecke bewegt sich eine Person in der Zugmitte dem Licht vom vorderen Ende entgegen und vom Licht des hinteren Endes weg. Das vordere Signal erreicht sie zuerst. Da Licht in ihrem System aus beiden Richtungen gleich schnell ist und sie von beiden Zugenden gleich weit entfernt ist, folgert sie: Der vordere Blitz schlug in ihrem Inertialsystem früher ein.
Der bloße Empfang zu verschiedenen Zeiten beweist noch keine unterschiedliche Ereigniszeit. Entscheidend ist, dass die Person Laufzeiten mithilfe der Lichtgeschwindigkeit und synchronisierter Uhren berücksichtigt. Erst dieser Vergleich zeigt die Relativität der Gleichzeitigkeit.
„Gleichzeitig“ ist bei räumlich getrennten Ereignissen keine absolute Aussage. Du musst immer angeben, in welchem Inertialsystem die Zeiten gemessen werden.
Wie berechnest du die Zeitdilatation?
Der Lorentzfaktor $\gamma$ (gesprochen: Gamma) beschreibt die Stärke relativistischer Effekte. Dabei ist $v$ der Betrag der relativen Geschwindigkeit der beiden Inertialsysteme. Es gilt $0\leq v\lt c$:
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$$
Für $v=0$ gilt $\gamma=1$. Wenn sich $v$ der Lichtgeschwindigkeit nähert, wird $\gamma$ immer größer. Massebehaftete Körper können $c$ nicht erreichen.
Eigenzeit
Die Eigenzeit $\Delta\tau$ (Delta Tau) ist die Zeitspanne, die eine einzige Uhr zwischen zwei Ereignissen auf ihrem Weg misst. Diese Uhr ist bei beiden Ereignissen dabei. Bei gleichförmiger Bewegung finden die Ereignisse im Ruhesystem der Uhr am selben Ort statt. Das Zeichen $\Delta$ bedeutet hier eine Zeitdifferenz.
Die Koordinatenzeit $\Delta t$ wird im anderen Inertialsystem mit dort synchronisierten Uhren bestimmt. Für eine Uhr, die sich während des gesamten Zeitintervalls mit konstantem $v$ bewegt, gilt:
$$\Delta t=\gamma\,\Delta\tau=\frac{\Delta\tau}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$$
Da $\gamma\geq 1$ ist, gilt $\Delta t\geq\Delta\tau$. Die bewegte Uhr sammelt zwischen den betrachteten Ereignissen weniger Zeit an.
Als fiktives Rechenbeispiel betrachten wir ein Teilchen, das sich im Labor gleichförmig mit $v=0{,}6c$ bewegt. Zwischen zwei Ereignissen auf seinem Weg vergehen im Ruhesystem des Teilchens $8\,\mathrm{\mu s}$. Du kannst dir das als Anzeige einer mitbewegten Uhr vorstellen. Eine Mikrosekunde ($\mathrm{\mu s}$) ist ein Millionstel einer Sekunde.
Zuerst bestimmst du den Lorentzfaktor:
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}6^2}}=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25$$
Dann berechnest du die Zeit im Laborsystem:
$$\Delta t=1{,}25\cdot 8\,\mathrm{\mu s}=10\,\mathrm{\mu s}$$
Im Laborsystem vergehen also $10\,\mathrm{\mu s}$, während die Uhr des Teilchens $8\,\mathrm{\mu s}$ misst.
Bei gleichförmiger Relativbewegung ist die Zuordnung gegenseitig: Jeder Inertialbeobachter kann sich selbst als ruhend ansehen und der jeweils anderen Uhr eine langsamere Rate zuordnen. Das ist kein Widerspruch, weil die Beobachter unterschiedliche Paare räumlich getrennter Ereignisse als gleichzeitig vergleichen. Ein späterer direkter Uhrenvergleich nach Umkehr und Wiederbegegnung enthält dagegen eine Beschleunigung und ist keine rein symmetrische Situation zweier unveränderter Inertialsysteme.
Wie berechnest du die Längenkontraktion?
Die Ruhelänge $l_0$ ist die Länge eines Gegenstands in dem Inertialsystem, in dem er ruht. Bewegt er sich relativ zu einem Beobachter, misst dieser in Bewegungsrichtung die kürzere Länge $l$:
$$l=\frac{l_0}{\gamma}=l_0\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}$$
Für eine Längenmessung müssen Vorder- und Hinterende im System des Messenden gleichzeitig erfasst werden. Deshalb hängen Längenkontraktion und Relativität der Gleichzeitigkeit eng zusammen.
In einem fiktiven Rechenbeispiel besitzt ein Raumschiff eine Ruhelänge von $80\,\mathrm{m}$ und fliegt mit $0{,}6c$ an einer Raumstation vorbei. Für diese Geschwindigkeit gilt $\gamma=1{,}25$.
$$l=\frac{80\,\mathrm{m}}{1{,}25}=64\,\mathrm{m}$$
Die Raumstation misst in Flugrichtung eine Länge von $64\,\mathrm{m}$. Quer zur Bewegung tritt keine Längenkontraktion auf.
Zeitdilatation betrifft Zeitintervalle, Längenkontraktion betrifft Längen in Bewegungsrichtung. Beide sind Messergebnisse eines festgelegten Inertialsystems – keine bloßen optischen Täuschungen.
Wie hängen Masse, Impuls und Energie zusammen?
Mit $m$ bezeichnen wir die Ruhemasse: Sie hängt nicht davon ab, wie schnell sich der Körper relativ zum gewählten Beobachter bewegt. Wir betrachten einen Körper, dessen innerer Zustand unverändert bleibt. Er besitzt bereits in Ruhe Energie:
$$E_0=mc^2$$
$E_0$ heißt Ruheenergie. Wegen des großen Faktors $c^2$ entspricht schon eine kleine Masse einer großen Energiemenge.
Für einen bewegten Körper mit $m>0$ gelten:
$$E=\gamma mc^2$$
$$p=\gamma mv$$
Dabei ist $E$ die Gesamtenergie und $p$ der Betrag des relativistischen Impulses. Der Impuls beschreibt den Bewegungszustand eines Körpers unter Berücksichtigung seiner Masse; klassisch kennst du ihn als $p=mv$. Hier kommen der Lorentzfaktor und die im gewählten Inertialsystem gemessene Geschwindigkeit $v$ hinzu. Die kinetische Energie ist die Bewegungsenergie, also der Unterschied zwischen Gesamt- und Ruheenergie:
$$E_{\mathrm{kin}}=E-E_0=(\gamma-1)mc^2$$
Energie und Impuls erfüllen außerdem:
$$E^2=E_0^2+(pc)^2$$
Für ein fiktives Rechenbeispiel bewegt sich ein Körper mit $0{,}6c$. Dann ist $\gamma=1{,}25$.
Seine Gesamtenergie beträgt:
$$E=1{,}25mc^2$$
Davon ist $mc^2$ Ruheenergie. Somit bleibt als kinetische Energie:
$$E_{\mathrm{kin}}=(1{,}25-1)mc^2=0{,}25mc^2$$
Die kinetische Energie entspricht in diesem Fall einem Viertel der Ruheenergie.
Manche Darstellungen sprechen von einer geschwindigkeitsabhängigen „relativistischen Masse“. Übersichtlicher ist es, $m$ als geschwindigkeitsunabhängige Ruhemasse zu verwenden und die Geschwindigkeitsabhängigkeit durch $\gamma$ in Energie und Impuls auszudrücken.
Wenn sich $v$ dem Wert $c$ nähert, wächst $\gamma$ ohne Grenze. Deshalb wäre unendlich viel Energie nötig, um einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Spezielle Relativitätstheorie
- Grundprinzipien: Relativitätsprinzip und konstante Lichtgeschwindigkeit
- Raum und Zeit: Gleichzeitigkeit hängt vom Inertialsystem ab
- Zeitdilatation: $\Delta t=\gamma\Delta\tau$
- Längenkontraktion: $l=l_0/\gamma$
- Energie: $E_0=mc^2$ und $E=\gamma mc^2$
- Grenze: Massebehaftete Körper erreichen $c$ nicht
Die spezielle Relativitätstheorie ersetzt die klassische Mechanik nicht vollständig. Bei Geschwindigkeiten, die sehr klein gegenüber $c$ sind, liegt $\gamma$ nahe bei $1$ und die klassischen Näherungen funktionieren gut. Gravitation wird in der allgemeinen Relativitätstheorie durch gekrümmte Raumzeit beschrieben. Raumzeit bedeutet die gemeinsame Beschreibung von Orten und Zeiten. In unseren Beispielen vernachlässigen wir gravitative Effekte.
Abschluss-Check
Die folgenden Aufgaben sind fiktive Rechenbeispiele. Die Bewegungen seien geradlinig und gleichförmig.
Wenn du bei einer Aufgabe zuerst das Inertialsystem, die Eigen- oder Ruhegröße und den Lorentzfaktor bestimmst, kannst du die passende Formel begründet auswählen und dein Ergebnis auf Plausibilität prüfen.