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Gini-Index: Ungleichheit verstehen und berechnen
Der Gini-Index fasst die relative Ungleichheit einer Verteilung in einer Zahl zusammen. Ein niedriger Wert steht für eine gleichmäßigere, ein hoher Wert für eine ungleichmäßigere Verteilung. In der Geographie wird er häufig verwendet, um Einkommens- oder Vermögensverteilungen zu untersuchen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst der Gini-Index?
Stell dir zwei gleich große Gruppen vor. In der ersten Gruppe erhalten alle dasselbe Einkommen. In der zweiten Gruppe erhält eine Person fast das gesamte Einkommen. Der Gini-Wert ist in der ersten Gruppe niedrig und in der zweiten hoch.
Gini-Koeffizient
Der Gini-Koeffizient misst die relative Konzentration oder Ungleichheit einer Verteilung. Er wird gewöhnlich auf einer Skala von 0 bis 1 angegeben.
- 0 bedeutet vollständige Gleichverteilung: Alle betrachteten Personen haben denselben Merkmalswert.
- Ein Wert nahe 1 bedeutet sehr starke Konzentration: Fast die gesamte Merkmalsmenge entfällt auf eine Person.
- Je größer der Wert, desto ungleicher ist die Verteilung.
Bei endlich vielen Personen bleibt der nicht zusätzlich normierte Koeffizient selbst bei größtmöglicher Konzentration unter 1. Die 1 beschreibt daher häufig den theoretischen Grenzfall.
Gini-Index
Der Gini-Index stellt denselben Zusammenhang meist auf einer Skala von 0 bis 100 dar. Dazu wird der Gini-Koeffizient mit 100 multipliziert.
Ein Koeffizient von 0,548 entspricht beispielsweise einem Index von 54,8. Prüfe deshalb vor einem Vergleich immer, welche Skala verwendet wird.
Gini-Koeffizient 0 bis 1 und Gini-Index 0 bis 100 beschreiben dieselbe relative Ungleichheit auf unterschiedlichen Skalen.
Wie zeigt die Lorenzkurve eine Verteilung?
Für eine Lorenzkurve ordnest du Personen oder Haushalte zuerst nach ihrem Einkommen: vom niedrigsten zum höchsten Wert. Anschließend bildest du kumulierte, also schrittweise addierte Anteile.
- Die x-Achse zeigt den kumulierten Anteil der Personen oder Haushalte.
- Die y-Achse zeigt den kumulierten Anteil am gesamten Einkommen oder Vermögen.
Der Punkt (0,4; 0,1) bedeutet zum Beispiel: Die unteren 40 % der Bevölkerung erhalten zusammen 10 % des Gesamteinkommens.
Die Gerade von (0; 0) nach (1; 1) ist die Gleichverteilungsgerade. Auf ihr besitzen beispielsweise 40 % der Personen genau 40 % der gesamten Merkmalsmenge.
Bei einer üblichen Verteilung nichtnegativer Einkommen liegt die Lorenzkurve unter dieser Geraden. Je weiter sie sich nach unten wölbt, desto größer ist die Ungleichheit.
Konzentrationsfläche
Die Konzentrationsfläche ist die Fläche zwischen Gleichverteilungsgerade und Lorenzkurve. Der Gini-Koeffizient setzt diese Fläche ins Verhältnis zur gesamten Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden.
Die Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden beträgt 0,5. Fällt die Lorenzkurve mit der Geraden zusammen, ist die Konzentrationsfläche null und damit auch der Gini-Wert null.
Wie wird der Gini-Wert aus Flächen berechnet?
Sind nur Gruppenanteile bekannt, näherst du die Fläche unter der Lorenzkurve durch Trapeze an. Zuerst ordnest du die Gruppen nach steigender Merkmalsintensität. Dafür teilst du bei jeder Gruppe ihren Merkmalsanteil durch ihren Bevölkerungsanteil. Die Gruppe mit dem kleinsten Quotienten steht zuerst.
Für ein Intervall gilt:
$$B_i = ((y_{i-1} + y_i) / 2) \cdot b_i$$
Dabei ist $b_i$ die Breite des Intervalls, also der Bevölkerungsanteil der Gruppe. $y_{i-1}$ und $y_i$ sind die kumulierten Merkmalsanteile am Anfang und Ende des Intervalls.
Addierst du alle Teilflächen, erhältst du die Fläche $B$ unter der Lorenzkurve. Dann gilt:
$$G = (0{,}5 - B) / 0{,}5 = 1 - 2B$$
Vollständiges Beispiel
Vier Gruppen teilen sich ein Vermögen:
| Gruppe | Bevölkerungsanteil $b_i$ | Vermögensanteil $v_i$ | Merkmalsintensität $v_i/b_i$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,50 | 0,025 | 0,05 |
| 2 | 0,40 | 0,475 | 1,188 |
| 3 | 0,09 | 0,270 | 3 |
| 4 | 0,01 | 0,230 | 23 |
Die Gruppen sind bereits nach steigender Merkmalsintensität geordnet. Nun addierst du die Anteile schrittweise:
| Punkt | Kumulierter Bevölkerungsanteil $x_i$ | Kumulierter Vermögensanteil $y_i$ |
|---|---|---|
| 0 | 0,00 | 0,000 |
| 1 | 0,50 | 0,025 |
| 2 | 0,90 | 0,500 |
| 3 | 0,99 | 0,770 |
| 4 | 1,00 | 1,000 |
Punkt 2 entsteht beispielsweise so: 0,50 + 0,40 = 0,90 und 0,025 + 0,475 = 0,500.
Für die vier Intervalle ergeben sich diese Trapezflächen:
- $B_1 = ((0 + 0{,}025) / 2) \cdot 0{,}50 = 0{,}00625$
- $B_2 = ((0{,}025 + 0{,}500) / 2) \cdot 0{,}40 = 0{,}105$
- $B_3 = ((0{,}500 + 0{,}770) / 2) \cdot 0{,}09 = 0{,}05715$
- $B_4 = ((0{,}770 + 1{,}000) / 2) \cdot 0{,}01 = 0{,}00885$
Damit ist die Fläche unter der Lorenzkurve:
$$B = 0{,}00625 + 0{,}105 + 0{,}05715 + 0{,}00885 = 0{,}17725$$
Nun setzt du $B$ in die Gini-Formel ein:
$$G = 1 - 2 \cdot 0{,}17725 = 0{,}6455$$
Der Gini-Koeffizient beträgt 0,6455. Auf der Skala von 0 bis 100 entspricht das einem Gini-Index von 64,55. Die Verteilung ist deutlich von der Gleichverteilung entfernt.
Wie deutest du Gini-Werte richtig?
Ein Gini-Wert beantwortet die Frage: Wie ungleich ist die betrachtete Merkmalsmenge innerhalb der untersuchten Gruppe verteilt? Er beantwortet nicht automatisch, wie hoch Einkommen oder Lebensstandard sind.
Land A kann einen niedrigen Gini-Wert besitzen, obwohl fast alle Menschen nur geringe Einkommen haben. Land B kann einen höheren Wert besitzen und zugleich ein höheres durchschnittliches Einkommen aufweisen. Aus dem Gini-Wert allein folgt daher nicht, welches Land wohlhabender ist.
Für einen belastbaren Vergleich müssen mindestens diese Bedingungen übereinstimmen:
- dasselbe Merkmal, zum Beispiel Einkommen oder Vermögen;
- dieselbe Skala;
- eine vergleichbare Datengrundlage und Berechnungsmethode;
- eine vergleichbare Gruppierung und räumliche Ebene;
- möglichst derselbe Zeitraum.
Ein sinkender Gini-Wert zeigt zunächst nur, dass die gemessene relative Ungleichheit abgenommen hat. Er beweist nicht, dass eine bestimmte politische Maßnahme die Ursache war.
Welche Grenzen hat die Kennzahl?
Der Gini-Wert verdichtet eine ganze Verteilung zu einer einzigen Zahl. Das erleichtert Vergleiche, erzeugt aber Informationsverlust.
- Gleicher Wert, andere Verteilung: Unterschiedlich geformte Lorenzkurven können denselben Gini-Wert besitzen.
- Keine absolute Einkommenshöhe: Relative Gleichheit ist nicht dasselbe wie Wohlstand.
- Verdeckte regionale Unterschiede: Ein nationaler Wert kann starke Unterschiede zwischen Regionen überdecken.
- Unvollständige Daten: Informell Beschäftigte, obdachlose Menschen oder andere schwer erfassbare Gruppen können in Erhebungen fehlen.
- Einfluss der Gruppierung: Grobe Gruppen verdecken Unterschiede innerhalb der Gruppen. Eine feinere Auflösung kann zusätzliche Ungleichheit sichtbar machen.
- Einkommen und Vermögen sind verschieden: Die Werte dürfen nicht verwechselt werden.
Ein Gini-Wert ist ein Richtwert, kein vollständiges Urteil über Lebensbedingungen oder den Entwicklungsstand eines Landes.
Bei einer Länderanalyse solltest du deshalb die Lorenzkurve, die Datengrundlage, absolute Einkommensangaben und weitere passende Entwicklungsindikatoren mitbetrachten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gini-Index
- Bedeutung
- misst relative Ungleichheit
- steigt mit der Konzentration
- Darstellung
- Koeffizient von 0 bis 1
- Index von 0 bis 100
- Lorenzkurve
- kumulierte Personenanteile
- kumulierte Merkmalsanteile
- Berechnung
- Gruppen nach Merkmalsintensität ordnen
- Trapezflächen addieren
- G = 1 minus 2B
- Beurteilung
- Methoden vergleichen
- absolute Werte ergänzen
- räumliche Unterschiede beachten
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du kannst den Gini-Index nun als Maß relativer Ungleichheit erklären, über die Lorenzkurve berechnen und kritisch einordnen. Entscheidend ist, die Kennzahl nie ohne Skala, Datengrundlage und zusätzliche Informationen zu beurteilen.