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Wahrheitstabelle erstellen und auswerten
Eine Wahrheitstabelle zeigt für jede mögliche Belegung einer logischen Formel, ob ihr Ergebnis wahr (w) oder falsch (f) ist. Du trägst zuerst alle Eingangskombinationen ein und berechnest dann die Teilformeln von innen nach außen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt eine Wahrheitstabelle?
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Buchstaben wie P und Q dienen als Platzhalter für Aussagen. Eine Frage oder ein Befehl ist keine Aussage, weil ihm kein Wahrheitswert zugeordnet wird.
Wahrheitstabelle
Eine Wahrheitstabelle listet alle möglichen Wahrheitswert-Belegungen der elementaren Aussagen auf. Weitere Spalten zeigen, welchen Wahrheitswert eine Verknüpfung oder eine zusammengesetzte Formel bei jeder Belegung hat.
Bei zwei Variablen gibt es vier Belegungen: w,w, w,f, f,w und f,f. Allgemein hat eine Tabelle mit n zweiwertigen Variablen $2^n$ Zeilen. Drei Variablen ergeben also $2^3=8$ Zeilen.
Wie funktionieren NICHT, UND und ODER?
Junktoren sind Zeichen, die Aussagen logisch verknüpfen. Die drei Grundoperationen lassen sich direkt an ihren Tabellen erkennen.
P | Q | ¬P | P∧Q | P∨Q |
|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w |
| w | f | f | f | w |
| f | w | w | f | w |
| f | f | w | f | f |
- Negation
¬Pbedeutet „nicht P“ und kehrt den Wahrheitswert um. - Konjunktion
P∧Qbedeutet „P und Q“ und ist nur wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. - Disjunktion
P∨Qist das einschließende Oder. Sie ist wahr, wenn mindestens eine Aussage wahr ist – auch wenn beide wahr sind.
UND verlangt zwei wahre Teilaussagen. ODER verlangt mindestens eine wahre Teilaussage. NICHT kehrt genau einen Wahrheitswert um.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Negation von w ist . Eine UND-Verknüpfung ist nur bei wahr. Eine ODER-Verknüpfung ist nur bei falsch.
Was ist bei Implikation, Äquivalenz und XOR wichtig?
Die Implikation P→Q bedeutet „Wenn P, dann Q“. Sie ist nur in einem Fall falsch: P ist wahr, aber Q ist falsch. Die Formel beschreibt dabei keine Ursache-Wirkung-Beziehung.
Die Äquivalenz P↔Q ist wahr, wenn beide Wahrheitswerte gleich sind. Das ausschließende Oder P⊕Q, kurz XOR, ist dagegen wahr, wenn die Werte verschieden sind.
P | Q | P→Q | P↔Q | P⊕Q |
|---|---|---|---|---|
| w | w | w | w | f |
| w | f | f | f | w |
| f | w | w | f | w |
| f | f | w | w | f |
Setze P: „Die PIN ist korrekt“ und Q: „Der Zugang wird freigegeben“. Die Regel P→Q wird genau dann verletzt, wenn die PIN korrekt ist, der Zugang aber nicht freigegeben wird. Ein freigegebener Zugang bei falscher PIN macht die materiale Implikation nicht falsch; die Formel allein behauptet keine Umkehrung Q→P.
Wie erstellst du eine Tabelle Schritt für Schritt?
Nimm die Formel (P∧Q)→R. Sie enthält drei Variablen und braucht deshalb acht Belegungszeilen.
- Schreibe die Variablen
P,QundRals Eingangsspalten auf. - Notiere alle acht Belegungen ohne Wiederholung.
- Berechne zuerst die innere Teilformel
P∧Q. - Werte danach den Hauptoperator
→aus. - Prüfe, ob jede Zeile und jede benötigte Zwischenspalte vorhanden ist.
P | Q | R | P∧Q | (P∧Q)→R |
|---|---|---|---|---|
| w | w | w | w | w |
| w | w | f | w | f |
| w | f | w | f | w |
| w | f | f | f | w |
| f | w | w | f | w |
| f | w | f | f | w |
| f | f | w | f | w |
| f | f | f | f | w |
Warum ist nur die zweite Ergebniszeile falsch? Dort ist P∧Q wahr und R falsch. Genau diese Kombination macht eine Implikation falsch. In allen übrigen Zeilen ist entweder die Voraussetzung P∧Q falsch oder die Folgerung R wahr.
Was kannst du an der Ergebnisspalte erkennen?
Die letzte Spalte zeigt nicht nur einzelne Ergebnisse. Sie hilft dir auch, die gesamte Formel zu beurteilen.
Tautologie
Eine Tautologie ist bei jeder möglichen Belegung wahr. Beispiel: P∨¬P.
Kontradiktion
Eine Kontradiktion ist bei jeder möglichen Belegung falsch. Beispiel: P∧¬P.
Eine Formel heißt erfüllbar, wenn sie bei mindestens einer Belegung wahr ist. Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn ihre Ergebnisspalten in jeder Zeile übereinstimmen. So kannst du etwa mit einer Tabelle prüfen, dass P→Q und ¬P∨Q dieselben Wahrheitswerte besitzen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wahrheitstabelle
- Vorbereitung: Variablen bestimmen und $2^n$ Belegungen notieren
- Auswertung: Teilformeln von innen nach außen berechnen
- Operatoren: NICHT, UND, ODER, Implikation, Äquivalenz und XOR
- Ergebnisspalte: Tautologie, Kontradiktion und Erfüllbarkeit erkennen
- Vergleich: logische Äquivalenz durch identische Spalten prüfen
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss: Hast du alle Belegungen notiert, jede Teilformel in der richtigen Reihenfolge ausgewertet und die Ergebnisspalte mit dem passenden Begriff gedeutet?