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Wenn dein Handy einen Code prüft, gibt es nur zwei Ergebnisse: richtig oder falsch. Auch ein Computer entscheidet oft nach solchen klaren Bedingungen. Eine Wahrheitstabelle hilft dir, alle möglichen Fälle übersichtlich zu ordnen.
Was eine Wahrheitstabelle zeigt
Eine Aussage ist ein Satz, der eindeutig wahr oder falsch sein kann. „Der Bus kommt um acht Uhr“ ist eine Aussage. Eine Frage oder Aufforderung ist keine Aussage.
Ein Wahrheitswert beschreibt, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. In der Informatik steht oft 1 für wahr und 0 für falsch.
Eine Wahrheitstabelle ist eine Tabelle mit allen möglichen Wahrheitswerten von Aussagen. Sie zeigt zu jeder Kombination das Ergebnis einer logischen Regel.
\(A\): „Der Akku ist geladen.“
| \(A\) | Bedeutung |
|---|---|
| wahr | Der Akku ist geladen |
| falsch | Der Akku ist nicht geladen |
Eine Wahrheitstabelle lässt keinen möglichen Fall aus.
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Aussagen verbinden
Eine logische Verknüpfung verbindet Aussagen zu einer neuen Aussage. Das Zeichen oder Wort für die Verbindung heißt Operator.
Bei Und müssen beide Aussagen wahr sein. Dafür nutzt man \(\land\). Bei Oder genügt mindestens eine wahre Aussage. Das Zeichen ist \(\lor\). Dieses Oder erlaubt auch, dass beide Aussagen wahr sind.
\(A\): „Ich habe mein Heft dabei.“
\(B\): „Ich habe einen Stift dabei.“
| \(A\) | \(B\) | \(A \land B\) |
|---|---|---|
| falsch | falsch | falsch |
| falsch | wahr | falsch |
| wahr | falsch | falsch |
| wahr | wahr | wahr |
Heft und Stift müssen beide vorhanden sein.
| \(A\) | \(B\) | \(A \lor B\) |
|---|---|---|
| falsch | falsch | falsch |
| falsch | wahr | wahr |
| wahr | falsch | wahr |
| wahr | wahr | wahr |
Für „Ich nehme einen Apfel oder eine Banane mit“ reicht mindestens eines. Beide mitzunehmen ist ebenfalls erlaubt.
In vielen Programmiersprachen bedeutet && Und, || Oder und ! Nicht.
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So baust du eine Tabelle auf
Schreibe zuerst für jede Aussage eine eigene Spalte. Danach trägst du alle Kombinationen aus wahr und falsch ein. In der letzten Spalte prüfst du die Verknüpfung Zeile für Zeile.
Bei zwei Aussagen gibt es vier Kombinationen. Bei drei Aussagen sind es acht. Allgemein brauchst du bei \(n\) Aussagen \(2^n\) Zeilen.
Für \(A \lor B\) gehst du so vor:
- Schreibe die Spalten \(A\), \(B\) und \(A \lor B\).
- Trage alle vier Kombinationen für \(A\) und \(B\) ein.
- Wende in jeder Zeile die Oder-Regel an.
| \(A\) | \(B\) | \(A \lor B\) |
|---|---|---|
| falsch | falsch | falsch |
| falsch | wahr | wahr |
| wahr | falsch | wahr |
| wahr | wahr | wahr |
Bei zwei Aussagen wechselt die rechte Eingabespalte in jeder Zeile. Die linke wechselt erst nach zwei Zeilen.
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Nicht und entweder oder
Die Negation ist die Verneinung einer Aussage. Sie macht aus wahr falsch und aus falsch wahr. Ihr Zeichen ist \(\neg\).
XOR bedeutet „entweder oder, aber nicht beides“. Das Ergebnis ist nur wahr, wenn genau eine von zwei Aussagen wahr ist.
\(A\): „Die Lampe leuchtet.“ Dann bedeutet \(\neg A\): „Die Lampe leuchtet nicht.“
| \(A\) | \(\neg A\) |
|---|---|
| falsch | wahr |
| wahr | falsch |
Zwei Personen können einen Startknopf drücken. Das System soll nur starten, wenn genau eine Person drückt.
| \(A\) | \(B\) | XOR |
|---|---|---|
| falsch | falsch | falsch |
| falsch | wahr | wahr |
| wahr | falsch | wahr |
| wahr | wahr | falsch |
Wenn beide gleichzeitig drücken, ist XOR falsch. Beim normalen Oder wäre diese Zeile wahr.
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Regeln vergleichen und prüfen
Zwei Ausdrücke sind gleichwertig, wenn sie für jede mögliche Zeile dasselbe Ergebnis haben. Eine Tautologie ist eine Aussage, die in jeder Zeile wahr ist.
Die Ausdrücke \(\neg(A \land B)\) und \(\neg A \lor \neg B\) sind gleichwertig.
| \(A\) | \(B\) | \(\neg(A \land B)\) | \(\neg A \lor \neg B\) |
|---|---|---|---|
| falsch | falsch | wahr | wahr |
| falsch | wahr | wahr | wahr |
| wahr | falsch | wahr | wahr |
| wahr | wahr | falsch | falsch |
Die letzten beiden Spalten sind gleich. Deshalb sind die Ausdrücke gleichwertig.
„\(A\) oder nicht \(A\)“ ist immer wahr.
| \(A\) | \(\neg A\) | \(A \lor \neg A\) |
|---|---|---|
| falsch | wahr | wahr |
| wahr | falsch | wahr |
In der letzten Spalte steht nur wahr. Darum ist dieser Ausdruck eine Tautologie.
Auch bei elektronischen Schaltungen helfen Wahrheitstabellen. Die Eingaben können 0 oder 1 sein. Die letzte Spalte zeigt dann, wann ein Ausgang aktiv ist.
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Zusammenfassung
Eine Wahrheitstabelle zeigt alle Kombinationen von wahr und falsch. Damit kannst du logische Verknüpfungen Schritt für Schritt prüfen und Regeln vergleichen.
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