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Aussagenlogik: Formeln und Wahrheitstabellen
Die Aussagenlogik untersucht, wie sich Aussagen mit „nicht“, „und“, „oder“ und „wenn … dann“ verknüpfen lassen. Entscheidend ist nicht der Inhalt, sondern ob eine Aussage wahr oder falsch ist und wie sich daraus der Wahrheitswert einer ganzen Formel ergibt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist überhaupt eine Aussage?
Eine Aussage ist ein Satz, der einen eindeutigen Wahrheitswert besitzt: wahr oder falsch, aber nicht beides. Ob du den Wahrheitswert bereits kennst, ist dabei nicht entscheidend.
„12 ist durch 3 teilbar.“ ist eine wahre Aussage. „12 ist eine Primzahl.“ ist eine falsche Aussage. Beide Sätze sind Aussagen, weil ihr Wahrheitswert eindeutig feststeht.
„Ist 12 durch 3 teilbar?“ ist eine Frage und deshalb keine Aussage. „Rechne die Aufgabe!“ ist ein Befehl und ebenfalls keine Aussage.
Für Aussagen verwendet man kurze Platzhalter, die Aussagenvariablen heißen. Zum Beispiel kann $P$ für „Es regnet“ und $Q$ für „Die Straße ist nass“ stehen. Eine Aussage ohne logische Verknüpfung heißt atomare Aussage.
Zusammengesetzte Aussage
Eine zusammengesetzte Aussage entsteht, wenn atomare Aussagen durch logische Verknüpfungen verbunden werden. Diese Verknüpfungen heißen Junktoren.
Wie funktionieren die Junktoren?
Die fünf wichtigsten Junktoren legen fest, wie die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen zum Gesamtwert verbunden werden.
| Zeichen | Name | Lesart | Wann wahr? |
|---|---|---|---|
| $\neg A$ | Negation | nicht A | wenn $A$ falsch ist |
| $A\land B$ | Konjunktion | A und B | nur wenn beide wahr sind |
| $A\lor B$ | Disjunktion | A oder B | wenn mindestens eine wahr ist |
| $A\to B$ | Implikation | wenn A, dann B | außer bei $A$ wahr und $B$ falsch |
| $A\leftrightarrow B$ | Bikonditional | A genau dann, wenn B | wenn beide denselben Wert haben |
Das logische Oder $\lor$ ist einschließend: $A\lor B$ ist auch dann wahr, wenn $A$ und $B$ beide wahr sind. Das ausschließende Oder $A\oplus B$ ist dagegen nur wahr, wenn genau eine Teilaussage wahr ist.
Die Implikation $A\to B$ sorgt oft für Verwirrung. Sie ist nur in einem Fall falsch: $A$ ist wahr, aber das versprochene $B$ bleibt falsch. Die Formel behauptet keine Ursache und keine zeitliche Reihenfolge.
$A$: „Eine Zahl ist durch 6 teilbar.“ $B$: „Die Zahl ist durch 3 teilbar.“
$A\to B$ ist richtig. Die Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 3. Die Teilbarkeit durch 3 ist notwendig, wenn eine Zahl durch 6 teilbar sein soll.
Die Umkehrung $B\to A$ ist falsch: 9 ist durch 3, aber nicht durch 6 teilbar. Ein Gegenbeispiel genügt, um die Umkehrung zu widerlegen.
Wie liest du eine Formel richtig?
Klammern zeigen, welche Teilaussagen zuerst verbunden werden. Ohne zusätzliche Klammern gilt gewöhnlich diese Bindungsstärke:
$$\neg\;>\;\land\;>\;\lor\;>\;\to\;>\;\leftrightarrow$$
Du liest also $\neg P\land Q\lor R$ als $((\neg P)\land Q)\lor R$.
Hauptoperator
Der Hauptoperator ist der Junktor, der die gesamte Formel in ihre unmittelbaren Teilformeln zerlegt. Er wird zuletzt ausgewertet.
Bei $(P\land Q)\to R$ ist $\to$ der Hauptoperator. Links steht die Teilformel $P\land Q$, rechts die atomare Aussage $R$. In einem Syntaxbaum wäre $\to$ die Wurzel, $\land$ ein innerer Knoten und $P$, $Q$, $R$ wären Blätter.
Werte $(\neg P\lor Q)\land R$ für $P=w$, $Q=f$ und $R=w$ aus:
- Zuerst: $\neg P=f$.
- Dann: $\neg P\lor Q=f\lor f=f$.
- Zuletzt: $(\neg P\lor Q)\land R=f\land w=f$.
Der Hauptoperator $\land$ kommt zuletzt an die Reihe.
Wie erstellst du eine Wahrheitstabelle?
Eine Wahrheitstabelle zeigt den Wert einer Formel für jede mögliche Belegung ihrer Variablen. Bei $n$ verschiedenen Variablen brauchst du $2^n$ Zeilen. Für drei Variablen sind das $2^3=8$ Zeilen.
Gehe so vor:
- Liste alle Belegungen der Variablen auf.
- Zerlege die Formel nach ihrer Klammerung.
- Ergänze für jede benötigte Teilformel eine Spalte.
- Werte von innen nach außen aus.
- Prüfe zuletzt die Spalte der Gesamtformel.
Für $(P\land Q)\to R$ brauchst du zuerst die Zwischenspalte $P\land Q$.
| $P$ | $Q$ | $R$ | $P\land Q$ | $(P\land Q)\to R$ |
|---|---|---|---|---|
| w | w | w | w | w |
| w | w | f | w | f |
| w | f | w | f | w |
| w | f | f | f | w |
| f | w | w | f | w |
| f | w | f | f | w |
| f | f | w | f | w |
| f | f | f | f | w |
Nur in der zweiten Zeile ist die Voraussetzung $P\land Q$ wahr und die Folgerung $R$ falsch. Genau dort ist die Implikation falsch.
Wahrheitstabellen beschreiben auch einfache digitale Schaltungen: UND-, ODER- und NICHT-Gatter verarbeiten binäre Eingänge nach denselben Wahrheitsregeln. Die Tabelle beschreibt dabei die logische Funktion; wie ein Gatter physisch gebaut wird, ist eine andere Betrachtungsebene.
Was verrät der Wahrheitswerteverlauf?
Aus der letzten Spalte einer Wahrheitstabelle kannst du eine Formel einordnen.
Tautologie, Kontradiktion und Erfüllbarkeit
- Eine Tautologie ist bei jeder Belegung wahr, zum Beispiel $P\lor\neg P$.
- Eine Kontradiktion ist bei jeder Belegung falsch, zum Beispiel $P\land\neg P$.
- Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie bei mindestens einer Belegung wahr ist.
- Eine Formel ist kontingent, wenn sie bei manchen Belegungen wahr und bei anderen falsch ist.
Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie bei jeder Belegung denselben Wahrheitswert besitzen. Wichtige Äquivalenzen sind:
$$P\to Q\equiv\neg P\lor Q$$
$$\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q$$
$$\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q$$
Die letzten beiden Regeln heißen De-Morgan-Gesetze. Beim Negieren einer Verbindung vertauschst du UND und ODER und negierst beide Teilaussagen.
Die Verneinung von „Die Datei ist gespeichert und die Verbindung ist aktiv“ lautet:
„Die Datei ist nicht gespeichert oder die Verbindung ist nicht aktiv.“
Es genügt, dass mindestens eine der beiden ursprünglichen Bedingungen nicht erfüllt ist.
Ein logischer Schluss besteht aus Prämissen und einer Konklusion. Beim Modus Ponens gilt:
$$P\to Q,\quad P\quad\therefore Q$$
Der Schluss ist gültig, weil die Formel $((P\to Q)\land P)\to Q$ eine Tautologie ist. Dagegen darfst du aus $P\to Q$ und $Q$ nicht allgemein auf $P$ schließen. Das wäre die ungültige Umkehrung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Aussagenlogik
- Bausteine: Aussagenvariablen und Junktoren
- Syntax: Klammern, Bindung, Hauptoperator und Teilformeln
- Semantik: Belegungen und Wahrheitstabellen
- Beurteilung: Tautologie, Kontradiktion, Äquivalenz und gültige Schlüsse
- Informatik: Boolesche Funktionen und logische Gatter
Abschluss-Check
Du kannst Aussagenlogik sicher anwenden, wenn du zuerst die Formelstruktur klärst, dann jede Teilformel auswertest und erst danach den Wahrheitswerteverlauf deutest.