Aussagenlogik

Viele Informatiksysteme treffen Entscheidungen: Wenn das Passwort stimmt und der Account aktiv ist, darf der Login weitergehen. Solche Entscheidungen kann man mit Aussagenlogik sauber untersuchen. Nach dieser Erklärung kannst du Aussagen, Wahrheitswerte, Junktoren und Wahrheitstabellen verstehen und typische Prüfungsaufgaben lösen.

Deine Lernziele

• Ich kann erklären, was eine Aussage in der Aussagenlogik ist.
• Ich kann Wahrheitswerte und elementare Aussagen unterscheiden.
• Ich kann Negation, Und, Oder, XOR und Wenn-dann mit Wahrheitstabellen auswerten.
• Ich kann Tautologie, Widerspruch und Äquivalenz erkennen.
• Ich kann einfache logische Formeln Schritt für Schritt prüfen.

Aussagen und Wahrheitswerte

Die Aussagenlogik betrachtet Sätze, die wahr oder falsch sein können. Sie interessiert sich nicht für jedes Detail eines Satzes, sondern dafür, wie Wahrheitswerte durch Verknüpfungen entstehen.

Definition

Aussage

Eine Aussage ist ein Satz, dem in der klassischen Aussagenlogik eindeutig einer der Wahrheitswerte wahr oder falsch zugeordnet werden kann.

Definition

Wahrheitswert

Ein Wahrheitswert gibt an, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. In der Informatik schreibt man oft auch 1 für wahr und 0 für falsch.

Nicht jeder Satz ist eine Aussage. Fragen, Befehle und unklare Formulierungen haben keinen eindeutigen Wahrheitswert.

Beispiel

Aussagen:

• "9 ist durch 3 teilbar." wahr.
• "Alle Autos sind grün." falsch.
• "Python ist eine Programmiersprache." wahr.

Keine Aussagen:

• "Mach die Tür zu!" Befehl.
• "Ist heute Freitag?" Frage.
• "Das ist schön." ohne genaue Regel subjektiv.

Merke

Aussagenlogik braucht Sätze, die wahr oder falsch sein können. Unklare Alltagssätze musst du erst präzisieren.

Nicht, und, oder

Aus einfachen Aussagen kann man zusammengesetzte Aussagen bauen. Die Verknüpfungswörter heißen in der Logik Junktoren.

Definition

Junktor

Ein Junktor ist eine logische Verknüpfung, die Aussagen zu einer neuen Aussage verbindet. Beispiele sind nicht, und, oder und wenn-dann.

Definition

Negation

Die Negation einer Aussage kehrt ihren Wahrheitswert um. Aus wahr wird falsch, aus falsch wird wahr.

Definition

Konjunktion

Eine Konjunktion ist eine Und-Verknüpfung. \(A \land B\) ist genau dann wahr, wenn \(A\) und \(B\) beide wahr sind.

Definition

Disjunktion

Eine Disjunktion ist eine Oder-Verknüpfung. \(A \lor B\) ist wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.

Das logische Oder ist normalerweise einschließend. "A oder B" ist also auch wahr, wenn beide wahr sind. Für "entweder oder" nutzt man XOR.

Beispiel

Sei:

• \(A\): "Der Account ist aktiv."
• \(B\): "Das Passwort stimmt."

Formel:

$$ A \land B $$

Diese Formel ist nur wahr, wenn der Account aktiv ist und das Passwort stimmt. Wenn eines davon falsch ist, soll der Login nicht weitergehen.

Beispiel

Wahrheitstabelle für Und und Oder:

A	B	\(A \land B\)	\(A \lor B\)
wahr	wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch	wahr
falsch	wahr	falsch	wahr
falsch	falsch	falsch	falsch

XOR und Wenn-dann

Manche Verknüpfungen sind im Alltag tückisch. Besonders "oder" und "wenn dann" werden oft anders verstanden als in der formalen Logik.

Definition

XOR

XOR ist das ausschließende Oder. \(A \oplus B\) ist genau dann wahr, wenn genau eine der beiden Aussagen wahr ist.

Definition

Implikation

Eine Implikation ist eine Wenn-dann-Verknüpfung. \(A \rightarrow B\) ist nur dann falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist.

Bei \(A \rightarrow B\) heißt \(A\) Voraussetzung oder Prämisse, \(B\) heißt Folgerung oder Konklusion. Wenn die Voraussetzung falsch ist, gilt die Implikation in der klassischen Aussagenlogik als wahr. Das wirkt zuerst komisch, ist aber für formale Regeln sehr praktisch.

Beispiel

Wenn-dann-Aussage:

"Wenn es regnet, ist die Straße nass."

• Es regnet und die Straße ist nass: Aussage nicht widerlegt, wahr.
• Es regnet und die Straße ist trocken: Aussage widerlegt, falsch.
• Es regnet nicht und die Straße ist nass: Aussage nicht widerlegt, wahr.
• Es regnet nicht und die Straße ist trocken: Aussage nicht widerlegt, wahr.

Die Wenn-dann-Aussage verspricht nur etwas für den Fall, dass die Voraussetzung eintritt.

Beispiel

Wahrheitstabelle:

A	B	\(A \oplus B\)	\(A \rightarrow B\)
wahr	wahr	falsch	wahr
wahr	falsch	wahr	falsch
falsch	wahr	wahr	wahr
falsch	falsch	falsch	wahr

Merke

Eine Implikation ist nur im Fall "wahr führt zu falsch" falsch. Bei falscher Voraussetzung ist sie formal wahr.

Wahrheitstabellen bauen

Eine Wahrheitstabelle prüft eine Formel für alle möglichen Wahrheitswerte der Variablen. Bei zwei Variablen gibt es 4 Zeilen, bei drei Variablen 8 Zeilen.

Definition

Wahrheitstabelle

Eine Wahrheitstabelle zeigt für alle Kombinationen der Wahrheitswerte, welchen Wahrheitswert eine logische Formel hat.

Definition

Formel

Eine logische Formel ist ein Ausdruck aus Aussagenvariablen und Junktoren, zum Beispiel \(\neg A \lor B\).

Baue Tabellen schrittweise. Berechne nicht alles im Kopf auf einmal, sondern erst Teilformeln.

Beispiel

Prüfe die Formel:

$$ \neg A \lor B $$

A	B	\(\neg A\)	\(\neg A \lor B\)
wahr	wahr	falsch	wahr
wahr	falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr	wahr
falsch	falsch	wahr	wahr

Diese Tabelle ist genau dieselbe wie bei \(A \rightarrow B\). Darum sind \(A \rightarrow B\) und \(\neg A \lor B\) logisch äquivalent.

Gut zu wissen

Bei \(n\) verschiedenen Aussagenvariablen hat eine vollständige Wahrheitstabelle \(2^n\) Zeilen. Drei Variablen bedeuten also 8 Zeilen, vier Variablen 16 Zeilen.

Tautologie, Widerspruch und Äquivalenz

Manche Formeln sind wegen ihrer Struktur immer wahr. Andere sind immer falsch. Das ist in Mathematik, Informatik und Schaltungstechnik nützlich.

Definition

Tautologie

Eine Tautologie ist eine logische Formel, die bei jeder Belegung der Variablen wahr ist.

Definition

Widerspruch

Ein Widerspruch ist eine logische Formel, die bei jeder Belegung der Variablen falsch ist.

Definition

Logische Äquivalenz

Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie bei jeder Belegung denselben Wahrheitswert haben.

Klassische Beispiele sind \(A \lor \neg A\) als Tautologie und \(A \land \neg A\) als Widerspruch.

Beispiel

Tabelle:

A	\(\neg A\)	\(A \lor \neg A\)	\(A \land \neg A\)
wahr	falsch	wahr	falsch
falsch	wahr	wahr	falsch

Egal welchen Wert \(A\) hat:

• \(A \lor \neg A\) ist immer wahr.
• \(A \land \neg A\) ist immer falsch.

Merke

Tautologie: immer wahr. Widerspruch: immer falsch. Äquivalent: immer gleicher Wahrheitsverlauf.

Prüfungsmodus

Bei Aussagenlogik-Aufgaben ist Ordnung wichtiger als Tempo. Kläre zuerst die Bedeutung der Variablen, dann die Junktoren, dann die Reihenfolge.

Beispiel

Aufgabe:

"Der Zugriff ist erlaubt, wenn der Benutzer angemeldet ist und entweder Admin ist oder die Datei freigegeben wurde."

Setze:

• \(A\): Benutzer ist angemeldet.
• \(B\): Benutzer ist Admin.
• \(C\): Datei ist freigegeben.

Formel:

$$ A \land (B \lor C) $$

Die Klammern sind wichtig. Ohne Klammern könnte man die Aussage falsch lesen.

Alles auf einen Blick

Abschluss-Check

Zusammenfassung

Aussagenlogik untersucht Aussagen mit den Wahrheitswerten wahr und falsch. Aus einfachen Aussagen entstehen mit Junktoren wie nicht, und, oder, XOR und wenn-dann neue Aussagen.

Wahrheitstabellen helfen dir, Formeln systematisch auszuwerten. Besonders wichtig ist die Implikation: Sie ist nur falsch, wenn eine wahre Voraussetzung zu einer falschen Folgerung führt.

Tautologien sind immer wahr, Widersprüche immer falsch, und logisch äquivalente Formeln haben in jeder Zeile denselben Wahrheitswert. Diese Ideen stecken direkt in Bedingungen, Schaltungen und Boolescher Algebra.