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Achteck: Eigenschaften, Winkel und Fläche berechnen
Ein Achteck ist ein Vieleck mit acht Seiten und acht Ecken. Für Berechnungen musst du zuerst prüfen, ob es regelmäßig ist: Nur dann sind alle Seiten und alle Innenwinkel gleich groß.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Achtecke sicher erkennen
Achteck
Ein Achteck, auch Oktogon oder Oktagon, ist ein geschlossenes Vieleck mit acht geraden Seiten und acht Ecken.
Achtecke können verschieden aussehen:
- Ein konvexes Achteck hat nur Innenwinkel unter $180^\circ$.
- Ein konkaves Achteck hat mindestens einen Innenwinkel über $180^\circ$.
- Bei einem überschlagenen Achteck schneiden sich Seiten.
- Bei einem Sehnenachteck liegen alle Ecken auf einem gemeinsamen Kreis. Seine Seiten müssen nicht gleich lang sein.
Ein regelmäßiges Achteck ist immer konvex. Ein gleichseitiges Achteck ist dagegen nicht automatisch regelmäßig: Gleiche Seitenlängen allein garantieren noch keine gleich großen Innenwinkel.
Regelmäßig bedeutet: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Regelmäßige Achtecke und ihre Winkel
Verbindest du den Mittelpunkt eines regelmäßigen Achtecks mit allen Ecken, entstehen acht kongruente, also deckungsgleiche, gleichschenklige Dreiecke.
Der Vollwinkel am Mittelpunkt wird gleichmäßig aufgeteilt:
$$360^\circ : 8 = 45^\circ$$
Der Mittelpunktswinkel beträgt daher $45^\circ$. In jedem Mittelpunktsdreieck bleiben für die beiden gleich großen Basiswinkel zusammen
$$180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$
Jeder Basiswinkel beträgt somit $67{,}5^\circ$. An einer Ecke des Achtecks treffen zwei solche Basiswinkel zusammen. Deshalb ist jeder Innenwinkel
$$2\cdot67{,}5^\circ=135^\circ.$$
Auch die Innenwinkelsumme eines einfachen Achtecks lässt sich bestimmen:
$$(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ.$$
Beim regelmäßigen Achteck verteilt sie sich gleichmäßig auf acht Winkel:
$$1080^\circ:8=135^\circ.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein regelmäßiges Achteck besteht aus acht Mittelpunktsdreiecken. Ihr Mittelpunktswinkel beträgt . Jeder Innenwinkel des Achtecks misst . Die gesamte Innenwinkelsumme beträgt .
Umfang und Fläche berechnen
Bezeichne die Seitenlänge mit $a$. Weil das regelmäßige Achteck acht gleich lange Seiten besitzt, gilt für den Umfang $U$:
$$U=8a$$
Für die Fläche hilft wieder die Zerlegung in acht Mittelpunktsdreiecke. Ihre Höhe ist der Inkreisradius $r$: der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite.
Ein Dreieck hat die Fläche
$$A_\triangle=\frac{a\cdot r}{2}.$$
Acht Dreiecke ergeben deshalb
$$A=8\cdot\frac{a\cdot r}{2}=\frac{U\cdot r}{2}.$$
Setzt du $r=\frac{1+\sqrt2}{2}a$ ein, erhältst du die Seitenlängenformel
$$A=2(1+\sqrt2)a^2.$$
Ein regelmäßiges Achteck hat die Seitenlänge $a=5\,\mathrm{cm}$.
1. Umfang:
$$U=8\cdot5\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm}$$
2. Fläche:
$$A=2(1+\sqrt2)\cdot(5\,\mathrm{cm})^2$$
$$A=50(1+\sqrt2)\,\mathrm{cm}^2\approx120{,}71\,\mathrm{cm}^2$$
Der Umfang ist eine Länge und trägt deshalb die Einheit Zentimeter. Die Fläche ist zweidimensional und trägt die Einheit Quadratzentimeter.
Radien und Diagonalen zuordnen
Der Umkreisradius $R$ führt vom Mittelpunkt zu einer Ecke. Der Inkreisradius $r$ führt dagegen senkrecht zur Mitte einer Seite.
Für ein regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge $a$ gelten:
$$r=\frac{1+\sqrt2}{2}a$$
$$R=\frac{\sqrt{4+2\sqrt2}}{2}a$$
Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Ein Achteck besitzt insgesamt
$$\frac{8(8-3)}{2}=20$$
Diagonalen. Beim regelmäßigen Achteck treten drei verschiedene Längen auf:
- kurze Diagonale: $d_\mathrm{k}=a\sqrt{2+\sqrt2}$
- mittlere Diagonale: $d_\mathrm{m}=a(1+\sqrt2)$
- lange Diagonale: $d_\mathrm{l}=a\sqrt{4+2\sqrt2}$
Die lange Diagonale verbindet gegenüberliegende Ecken und verläuft durch den Mittelpunkt. Daher ist sie der Durchmesser des Umkreises:
$$d_\mathrm{l}=2R$$
Die mittlere Diagonale hat die Länge $2r$:
$$d_\mathrm{m}=2r$$
Der Umkreis berührt die Ecken, der Inkreis die Seiten. Die lange Diagonale ist doppelt so lang wie der Umkreisradius.
Ein regelmäßiges Achteck konstruieren
Mit Zirkel und Lineal kannst du ein regelmäßiges Achteck über seinen Umkreis zeichnen:
- Zeichne einen Kreis und markiere seinen Mittelpunkt.
- Zeichne einen Durchmesser.
- Konstruiere einen zweiten Durchmesser senkrecht zum ersten. Auf dem Kreis liegen nun vier gleichmäßig verteilte Punkte.
- Halbiere jeden der vier rechten Winkel am Mittelpunkt. Die Winkelhalbierenden schneiden den Kreis in vier weiteren Punkten.
- Verbinde die acht Kreispunkte der Reihe nach.
Zwischen zwei benachbarten Strahlen liegt jeweils ein Winkel von $45^\circ$. Gleiche Mittelpunktswinkel schneiden auf demselben Kreis gleich lange Sehnen ab. Deshalb sind alle acht Seiten gleich lang; zugleich entstehen gleiche Innenwinkel.
Eine Zeichnung, bei der du nur die Ecken eines Quadrats ungefähr gleich weit abschneidest, kann wie ein Achteck aussehen. Regelmäßig ist sie aber nur, wenn die entstehenden Seiten und Winkel tatsächlich übereinstimmen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Achteck
- Definition: acht Seiten und acht Ecken
- Formen
- konvex, konkav oder überschlagen
- regelmäßig oder unregelmäßig
- Regelmäßiges Achteck
- Mittelpunktswinkel: $45^\circ$
- Innenwinkel: $135^\circ$
- Umfang: $U=8a$
- Fläche: $A=2(1+\sqrt2)a^2$
- Kreise und Diagonalen
- Inkreisradius endet an einer Seite
- Umkreisradius endet an einer Ecke
- lange Diagonale: $2R$
- Konstruktion
- Kreis durch acht gleiche Mittelpunktswinkel teilen
Abschluss-Check
Wenn du Achtecke untersuchst, entscheide immer zuerst: allgemein oder regelmäßig? Erst danach wählst du die passenden Winkel- und Größenformeln.