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Vielecke: Arten, Umfang, Winkel und Fläche
Ein Vieleck, auch Polygon genannt, ist eine ebene, geschlossene Figur aus geraden Strecken. Du kannst Vielecke an ihren Begrenzungen erkennen, nach ihrer Eckenzahl benennen und ihren Umfang berechnen. Außerdem lernst du, Innenwinkelsummen zu bestimmen und zusammengesetzte Flächen zu zerlegen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Vieleck?
Vieleck
Ein Vieleck ist eine ebene und geschlossene Figur, deren Rand vollständig aus geraden Strecken besteht. Es besitzt mindestens drei Ecken. Die Anzahl seiner Seiten entspricht immer der Anzahl seiner Ecken. In diesem Lernweg betrachten wir einfache Vielecke, deren nicht benachbarte Seiten sich nicht kreuzen.
Prüfe eine Figur mit vier Fragen:
- Ist sie geschlossen?
- Besteht ihr gesamter Rand aus geraden Strecken?
- Liegt sie in einer Ebene und hat sie mindestens drei Ecken?
- Kreuzen sich ihre nicht benachbarten Seiten nicht?
Nur wenn alle Antworten ja lauten, handelt es sich um ein einfaches Vieleck, wie es auf dieser Seite verwendet wird.
Ein Dreieck ist ein Vieleck: Es ist eben, geschlossen und wird von drei geraden Strecken begrenzt.
Ein Halbkreis ist kein Vieleck, weil ein Teil seines Randes gekrümmt ist. Ein Würfel ist ebenfalls kein Vieleck: Er ist ein dreidimensionaler Körper und keine ebene Figur.
Wie werden Vielecke benannt und geordnet?
Vielecke heißen nach der Anzahl ihrer Ecken und Seiten:
- 3 Ecken: Dreieck
- 4 Ecken: Viereck
- 5 Ecken: Fünfeck
- 6 Ecken: Sechseck
- 8 Ecken: Achteck oder Oktagon
Ein Stoppschild veranschaulicht die Form eines Achtecks.
Regelmäßiges Vieleck
Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Fehlt mindestens eine dieser beiden Eigenschaften, ist das Vieleck unregelmäßig.
Ein Quadrat ist regelmäßig: Seine vier Seiten sind gleich lang und seine vier Innenwinkel gleich groß. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, ist dagegen unregelmäßig, weil nicht alle vier Seiten gleich lang sind.
„Regelmäßig“ bedeutet nicht bloß ordentlich gezeichnet. Sowohl die Seitenlängen als auch die Innenwinkel müssen jeweils übereinstimmen.
Wie berechnest du den Umfang?
Der Umfang ist die gesamte Länge des äußeren Randes. Du addierst dafür sämtliche Seitenlängen.
Bei einem regelmäßigen Vieleck mit der Seitenzahl $n$ und der gemeinsamen Seitenlänge $a$ gilt:
$$U=n\cdot a$$
Ein regelmäßiges Achteck hat acht Seiten von jeweils $3{,}5\,\mathrm{cm}$ Länge.
$$U=8\cdot 3{,}5\,\mathrm{cm}=28\,\mathrm{cm}$$
Der Rand des Achtecks ist also insgesamt $28\,\mathrm{cm}$ lang.
Bei einem unregelmäßigen Vieleck addierst du jede Seitenlänge einzeln. Für den Umfang brauchst du die Fläche nicht zu zerlegen.
Wie bestimmst du die Innenwinkelsumme?
Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren eines einfachen Vielecks. Sie hängt von der Eckenzahl $n$ ab, nicht davon, ob das Vieleck regelmäßig ist.
Ein einfaches Vieleck mit $n$ Ecken lässt sich in $n-2$ Dreiecke zerlegen. Da jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von $180^\circ$ besitzt, gilt:
$$S=(n-2)\cdot 180^\circ$$
Ein Sechseck besitzt $n=6$ Ecken. Es lässt sich in $6-2=4$ Dreiecke zerlegen.
$$S=(6-2)\cdot 180^\circ=4\cdot 180^\circ=720^\circ$$
Die Innenwinkel eines einfachen Sechsecks ergeben zusammen $720^\circ$. Das gilt für regelmäßige und unregelmäßige Sechsecke.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Formel für die Innenwinkelsumme steht $n$ für die . Für ein Fünfeck setzt du ein. Seine Innenwinkelsumme beträgt .
Wie berechnest du eine zusammengesetzte Fläche?
Für viele unregelmäßige oder zusammengesetzte Vielecke verwendest du eine Zerlegung:
- Teile das Vieleck ohne Lücken und Überlappungen in bekannte Figuren.
- Berechne den Flächeninhalt jeder Teilfigur.
- Addiere die Teilflächen.
- Prüfe, ob die Einheit eine Flächeneinheit wie $\mathrm{cm^2}$ ist.
Ein Vieleck lässt sich in ein Dreieck und ein Rechteck zerlegen.
Das Dreieck besitzt die Grundseite $6\,\mathrm{cm}$ und die zugehörige Höhe $3\,\mathrm{cm}$:
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot 6\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm}=9\,\mathrm{cm^2}$$
Das Rechteck ist $6\,\mathrm{cm}$ lang und $3\,\mathrm{cm}$ breit:
$$A_{\text{Rechteck}}=6\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^2}$$
Nun werden die beiden Teilflächen addiert:
$$A_{\text{Vieleck}}=9\,\mathrm{cm^2}+18\,\mathrm{cm^2}=27\,\mathrm{cm^2}$$
Das Vieleck hat einen Flächeninhalt von $27\,\mathrm{cm^2}$.
Beim Umfang addierst du Randlängen. Beim Flächeninhalt addierst du Teilflächen. Verwechsle deshalb $\mathrm{cm}$ und $\mathrm{cm^2}$ nicht.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Vielecke
- erkennen: eben, geschlossen, gerade Seiten
- benennen: Eckenzahl bestimmt den Namen
- ordnen: regelmäßig oder unregelmäßig
- Umfang: alle Seitenlängen addieren
- Innenwinkelsumme: $(n-2)\cdot 180^\circ$
- Fläche: in bekannte Teilfiguren zerlegen
Abschluss-Check
Du kannst ein Vieleck nun zuerst an seinem Rand erkennen, dann nach der Eckenzahl benennen und als regelmäßig oder unregelmäßig einordnen. Für Berechnungen unterscheidest du klar zwischen Randlänge, Winkelsumme und Fläche.