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Parallelogramm: Eigenschaften, Fläche und Umfang
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler gegenüberliegender Seiten. Du berechnest seinen Flächeninhalt mit Grundseite mal zugehöriger Höhe und seinen Umfang aus den vier Seitenlängen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Parallelogramm?
Stell dir ein Rechteck vor, dessen obere Seite seitlich verschoben wird. Die Figur wirkt nun schräg. Solange beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel bleiben, entsteht ein Parallelogramm.
Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Gegenüberliegende Seiten sind außerdem gleich lang.
Bezeichnest du die beiden unterschiedlichen Seitenlängen mit $a$ und $b$, kommen beide jeweils zweimal vor.
Ein Viereck mit nur einem bekannten Paar paralleler Seiten erfüllt die Definition noch nicht. Auch vier gleich lange Seiten sind nicht die allgemeine Definition: Sie kennzeichnen den besonderen Fall einer Raute.
Welche Eigenschaften gehören zusammen?
Gegenüberliegende Seiten sind nicht nur parallel, sondern auch gleich lang. Weitere Eigenschaften betreffen die Winkel und Diagonalen.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180^\circ$.
- Die Summe aller vier Innenwinkel beträgt $360^\circ$.
- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
- Ihr Schnittpunkt ist das Zentrum der Punktsymmetrie.
Punktsymmetrisch bedeutet: Drehst du das Parallelogramm um $180^\circ$ um den Schnittpunkt seiner Diagonalen, deckt es sich wieder mit sich selbst. Ein allgemeines Parallelogramm muss dagegen keine Spiegelachse besitzen.
Ein Winkel des Parallelogramms beträgt $70^\circ$.
Der gegenüberliegende Winkel ist ebenfalls $70^\circ$. Jeder benachbarte Winkel ergänzt ihn zu $180^\circ$:
$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$
Die vier Winkel sind daher $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$ und $110^\circ$. Ihre Summe beträgt $360^\circ$.
Wie berechnest du den Flächeninhalt?
Wähle eine Seite als Grundseite. Die zugehörige Höhe ist der senkrechte Abstand zur gegenüberliegenden parallelen Seite.
Für die Grundseite $a$ und ihre Höhe $h_a$ gilt:
$$A=a\cdot h_a$$
Du kannst ebenso $b$ als Grundseite wählen. Dann musst du die zu $b$ gehörende Höhe $h_b$ verwenden:
$$A=b\cdot h_b$$
Die schräge Nachbarseite ist nicht automatisch die Höhe. Eine Höhe muss immer senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen.
Die Flächenformel lässt sich durch Umbauen erklären: Schneidest du an einer Höhenlinie ein rechtwinkliges Teilstück ab und verschiebst es auf die andere Seite, entsteht ein Rechteck. Grundseite und Höhe bleiben gleich, und es geht keine Fläche verloren. Deshalb gilt wie beim Rechteck: Grundseite mal Höhe.
Gegeben sind $a=8\,\text{cm}$ und $h_a=3\,\text{cm}$.
Zuerst ordnest du Grundseite und zugehörige Höhe ein. Dann setzt du ein:
$$A=8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2$$
Der Flächeninhalt beträgt $24\,\text{cm}^2$. Die Einheit ist quadratisch, weil zwei Längen miteinander multipliziert werden.
Wenn Fläche und Grundseite bekannt sind, kannst du die Formel umstellen:
$$h_a=\frac{A}{a}$$
Sind Fläche und Höhe bekannt, gilt entsprechend:
$$a=\frac{A}{h_a}$$
Wie berechnest du den Umfang?
Der Umfang ist die gesamte Länge des Randes. Weil die Seitenlängen $a$ und $b$ jeweils zweimal vorkommen, gilt:
$$U=2a+2b$$
Du kannst die Formel auch als $U=2\cdot(a+b)$ schreiben.
Gegeben sind $a=8\,\text{cm}$ und $b=4\,\text{cm}$.
$$U=2\cdot8\,\text{cm}+2\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}$$
Der Umfang beträgt $24\,\text{cm}$. Obwohl beim Flächenbeispiel ebenfalls der Zahlenwert 24 vorkam, sind die Ergebnisse nicht gleichartig: Umfang wird in Zentimetern, Fläche in Quadratzentimetern angegeben.
Für den Rand brauchst du die Seitenlängen: $U=2a+2b$. Für die Fläche brauchst du eine Grundseite und ihre senkrechte Höhe: $A=a\cdot h_a$.
Welche besonderen Parallelogramme gibt es?
Einige Parallelogramme besitzen zusätzliche Eigenschaften. Dadurch entstehen besondere Formen.
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln.
- Eine Raute oder ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
- Ein Quadrat besitzt vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten. Es ist deshalb zugleich Rechteck, Raute und Parallelogramm.
Die Richtung der Einordnung ist wichtig: Jedes Quadrat ist ein Parallelogramm. Aber nicht jedes Parallelogramm ist ein Quadrat, denn rechte Winkel und vier gleich lange Seiten sind beim allgemeinen Parallelogramm nicht vorgeschrieben.
Ob jedes Parallelogramm auch als Trapez bezeichnet wird, hängt von der verwendeten Trapezdefinition ab. Bei der Definition „mindestens ein Paar paralleler Seiten“ gehört jedes Parallelogramm zu den Trapezen, weil es sogar zwei parallele Seitenpaare besitzt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Parallelogramm
- Erkennen: zwei Paare paralleler gegenüberliegender Seiten
- Seiten: gegenüberliegend gleich lang
- Winkel: gegenüberliegend gleich, benachbart zusammen $180^\circ$
- Diagonalen: halbieren sich im Symmetriezentrum
- Fläche: Grundseite mal zugehörige senkrechte Höhe
- Umfang: beide Seitenlängen jeweils zweimal
- Spezialformen: Rechteck, Raute und Quadrat