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Trapez: Eigenschaften, Fläche und Umfang
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar gegenüberliegender paralleler Seiten. Du kannst es an diesen Grundseiten erkennen und mit Höhe, Mittellinie und Seitenlängen berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Ein Trapez erkennen und beschriften
Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten. Meist werden sie mit $a$ und $c$ bezeichnet. Die beiden übrigen Seiten $b$ und $d$ heißen Schenkel.
Höhe
Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten. Sie steht im rechten Winkel auf ihnen. Eine schräge Seite ist daher nicht automatisch die Höhe.
Die vier Eckpunkte werden der Reihe nach mit $A$, $B$, $C$ und $D$ beschriftet. Verbindungen zwischen gegenüberliegenden Ecken heißen Diagonalen.
Prüfe zuerst die Parallelität: Ein Viereck ist nach der hier verwendeten Definition ein Trapez, wenn mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist.
Deshalb zählen auch Parallelogramme, Rechtecke und Quadrate als besondere Trapeze: Sie besitzen sogar zwei Paare paralleler Seiten.
Eigenschaften und besondere Trapeze
Wie jedes Viereck hat ein Trapez vier Innenwinkel. Ihre Summe beträgt $360°$. Die beiden Innenwinkel, die an demselben Schenkel liegen, ergeben zusammen $180°$.
Gleichschenkliges Trapez
Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Schenkel gleich lang: $b=d$. Die Figur ist achsensymmetrisch.
Rechtwinkliges Trapez
Ein rechtwinkliges Trapez besitzt zwei rechte Winkel. Der Schenkel zwischen diesen Winkeln steht senkrecht auf den Grundseiten und ist damit zugleich eine Höhe.
Ein allgemeines Trapez muss weder gleich lange Schenkel noch rechte Winkel besitzen. Auch seine Diagonalen müssen nicht gleich lang sein.
Flächeninhalt und Mittellinie berechnen
Für den Flächeninhalt brauchst du die beiden Grundseiten $a$ und $c$ sowie die senkrechte Höhe $h$:
$$A=((a+c)/2) · h$$
Du addierst zuerst die Grundseiten, halbierst ihre Summe und multiplizierst anschließend mit der Höhe.
Die Mittellinie verbindet die Mittelpunkte der beiden Schenkel. Sie ist parallel zu den Grundseiten und hat die Länge
$$m=(a+c)/2$$
Damit lässt sich die Flächenformel auch so schreiben:
$$A=m · h$$
Die Flächenformel lässt sich durch Verdoppeln erklären: Lege eine gedrehte Kopie des Trapezes an das Original. Durch Umlegen eines Randdreiecks entsteht ein Rechteck mit der Länge $a+c$ und der Höhe $h$. Dieses Rechteck entspricht zwei Trapezen. Deshalb wird sein Flächeninhalt durch 2 geteilt.
Ein rechtwinkliges Trapez hat die Grundseiten $a=10$ cm und $c=6$ cm. Seine Höhe beträgt $h=3$ cm.
- Zusammenhang bestimmen: Gesucht ist eine Fläche, gegeben sind beide Grundseiten und die Höhe.
- Grundseiten addieren: $10$ cm $+$ $6$ cm $=$ $16$ cm.
- Summe halbieren: $16$ cm $/2=8$ cm. Das ist zugleich die Mittellinie $m$.
- Mit der Höhe multiplizieren: $A=8$ cm $·3$ cm $=24$ cm².
Der Flächeninhalt beträgt 24 cm². Die Quadrateinheit passt, weil eine Fläche berechnet wurde.
Soll statt der Fläche die Höhe bestimmt werden, kannst du die Formel umstellen:
$$h=(2 · A)/(a+c)$$
Für $A=42$ cm², $a=8$ cm und $c=6$ cm gilt:
$h=(2·42\text{ cm}²)/(8\text{ cm}+6\text{ cm})=84\text{ cm}²/14\text{ cm}=6\text{ cm}$.
Die Höhe beträgt 6 cm.
Umfang bestimmen und Fehler vermeiden
Der Umfang ist die Länge des Randes. Dafür addierst du alle vier Seiten:
$$U=a+b+c+d$$
Alle Längen müssen vor dem Addieren in derselben Einheit angegeben sein. Das Ergebnis erhält eine Längeneinheit wie Zentimeter, nicht eine Quadrateinheit.
Beim rechtwinkligen Trapez aus dem Flächenbeispiel sind die Seiten $a=10$ cm, $b=5$ cm, $c=6$ cm und $d=3$ cm lang.
$U=10$ cm $+5$ cm $+6$ cm $+3$ cm $=24$ cm.
Der Umfang beträgt 24 cm. Dass Fläche und Umfang hier beide den Zahlenwert 24 haben, ist Zufall: $24$ cm² und $24$ cm sind unterschiedliche Größen.
Fehlt eine Seite, ziehst du die drei bekannten Seiten vom Umfang ab. Für die Seite $a$ gilt zum Beispiel:
$$a=U-b-c-d$$
Trapezaufgaben sicher lösen
Gehe bei einer Rechenaufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Markiere die parallelen Grundseiten.
- Prüfe, ob die eingezeichnete Strecke wirklich senkrecht auf den Grundseiten steht.
- Entscheide, ob Fläche, Umfang, Mittellinie oder eine fehlende Größe gesucht ist.
- Schreibe die passende Formel auf.
- Bringe alle Längen in dieselbe Einheit.
- Setze die Werte mit Einheiten ein und rechne.
- Prüfe, ob das Ergebnis eine Längen- oder Flächeneinheit braucht.
Fläche beschreibt den Inhalt der Figur, Umfang ihren Rand. Für die Fläche brauchst du Grundseiten und Höhe; für den Umfang brauchst du alle vier Seiten.
Deine Aufgabe
Ein gleichschenkliges Trapez hat die Grundseiten $a=12$ cm und $c=6$ cm, die Höhe $h=4$ cm sowie die Schenkel $b=5$ cm und $d=5$ cm.
Berechne Mittellinie, Flächeninhalt und Umfang.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Trapez
- Aufbau
- Grundseiten parallel
- Schenkel: Parallelität nicht erforderlich
- Höhe senkrecht
- Arten
- gleichschenklig: $b=d$
- rechtwinklig: zwei rechte Winkel
- Berechnungen
- Mittellinie: $m=(a+c)/2$
- Fläche: $A=m·h$
- Umfang: alle vier Seiten addieren
- Kontrolle
- gleiche Längeneinheiten
- Fläche in Quadrateinheiten
- Umfang in Längeneinheiten
- Aufbau
Abschluss-Check
Wenn du Grundseiten, Höhe und Schenkel sicher unterscheidest, kannst du die passende Formel auswählen: Mittellinie und Höhe bestimmen die Fläche, alle vier Seiten den Umfang.