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Raute: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt
Eine Raute, auch Rhombus genannt, ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Du erkennst sie sicher an dieser Seiteneigenschaft – nicht daran, dass sie „schief“ oder auf die Spitze gestellt aussieht.
Auf dieser Seite lernst du, die Eigenschaften einer Raute zu erklären, Umfang und Flächeninhalt zu berechnen und sie von ähnlichen Vierecken abzugrenzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Raute?
Raute
Eine Raute ist ein Viereck, dessen vier Seiten gleich lang sind. Rhombus ist eine andere Bezeichnung für dieselbe Figur.
Die Lage der Figur spielt keine Rolle. Auch ein Quadrat erfüllt die Definition einer Raute, weil es vier gleich lange Seiten besitzt.
Vier gleich lange Seiten sind das entscheidende Erkennungsmerkmal. Zwei Paare gleich langer Nachbarseiten genügen dagegen nicht: Eine solche Figur kann ein Drachenviereck sein.
Eine Figur besitzt die Seitenlängen $5\,\mathrm{cm}$, $5\,\mathrm{cm}$, $5\,\mathrm{cm}$ und $5\,\mathrm{cm}$. Damit ist sie eine Raute.
Bei den Seitenlängen $4\,\mathrm{cm}$, $4\,\mathrm{cm}$, $6\,\mathrm{cm}$ und $6\,\mathrm{cm}$ ist die Figur keine Raute, weil nicht alle vier Seiten gleich lang sind.
Welche Eigenschaften gehören zusammen?
Bezeichne die Eckpunkte der Reihe nach mit $A$, $B$, $C$ und $D$. Die Seiten haben alle dieselbe Länge $a$. Die Diagonalen – also die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Ecken – heißen häufig $e$ und $f$.
Für jede Raute gilt:
- Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen $180^\circ$.
- Alle vier Innenwinkel ergeben zusammen $360^\circ$.
- Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
- Die Diagonalen halbieren einander und die Innenwinkel.
- Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen.
- Ihr Schnittpunkt ist das Symmetriezentrum der Raute.
Die senkrechten Diagonalen zerlegen die Raute in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke. Kongruent bedeutet hier: Die Dreiecke stimmen in Form und Größe überein.
Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen gegenseitig und schneiden sich im rechten Winkel.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Raute hat vier Seiten. Ihre Diagonalen stehen aufeinander und einander. Gegenüberliegende Winkel sind .
Wie berechnest du Umfang und Flächeninhalt?
Umfang aus der Seitenlänge
Der Umfang ist die Länge des Randes. Weil eine Raute vier gleich lange Seiten der Länge $a$ hat, gilt:
$$U=4\cdot a$$
Gegeben ist $a=7\,\mathrm{cm}$.
$$U=4\cdot 7\,\mathrm{cm}=28\,\mathrm{cm}$$
Der Umfang der Raute beträgt $28\,\mathrm{cm}$.
Flächeninhalt aus den Diagonalen
Sind die ganzen Diagonalen $e$ und $f$ gegeben, berechnest du:
$$A=\frac{e\cdot f}{2}$$
Warum wird durch $2$ geteilt? Die Diagonalen bilden vier rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $\frac e2$ und $\frac f2$. Zusammen haben sie den Flächeninhalt
$$4\cdot\frac12\cdot\frac e2\cdot\frac f2=\frac{e\cdot f}{2}.$$
Gegeben sind $e=12\,\mathrm{cm}$ und $f=8\,\mathrm{cm}$.
$$A=\frac{12\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm}}{2}=48\,\mathrm{cm}^2$$
Der Flächeninhalt beträgt $48\,\mathrm{cm}^2$.
Flächeninhalt aus Seite und Höhe
Kennst du die Seitenlänge $a$ und die zugehörige Höhe $h_a$, gilt wie beim Parallelogramm:
$$A=a\cdot h_a$$
Die Höhe $h_a$ ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten der Länge $a$.
Für $a=6\,\mathrm{cm}$ und $h_a=5\,\mathrm{cm}$ erhältst du:
$$A=6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}^2$$
Wie unterscheidest du Raute, Quadrat und Drachenviereck?
Eine Raute ist ein besonderes Parallelogramm: Ihre Gegenseiten sind parallel, zusätzlich sind alle vier Seiten gleich lang.
Ein Quadrat ist eine besondere Raute. Es besitzt neben vier gleich langen Seiten auch vier rechte Winkel. Hat eine Raute nur einen rechten Winkel, dann sind wegen der gleichen Gegenwinkel und der Ergänzung benachbarter Winkel automatisch alle vier Winkel rechte Winkel. Die Raute ist dann ein Quadrat.
Ein allgemeines Drachenviereck kann zwei Paare gleich langer Nachbarseiten haben, ohne dass alle vier Seiten gleich lang sind. Eine Raute erfüllt die weitergehende Bedingung, dass sämtliche Seiten gleich lang sind.
Jedes Quadrat ist eine Raute. Aber nicht jede Raute ist ein Quadrat.
Wie konstruierst du eine Raute?
Sind die Seitenlänge $a$ und ein Winkel $\alpha$ gegeben, kannst du die Raute mit Lineal, Zirkel und Winkelmesser konstruieren:
- Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit der Länge $a$.
- Trage in $A$ den Winkel $\alpha$ an.
- Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit Radius $a$. Sein Schnittpunkt mit dem Winkelschenkel ist $D$.
- Zeichne um $B$ und $D$ je einen Kreisbogen mit Radius $a$. Die beiden Kreisbögen schneiden sich in $A$ und in einem zweiten Punkt.
- Bezeichne den zweiten Schnittpunkt, der nicht $A$ ist, mit $C$.
- Verbinde $B$ mit $C$ und $C$ mit $D$.
Alle vier Seiten sind Radien derselben Länge $a$. Deshalb entsteht die Raute $ABCD$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Raute
- Erkennen: vier gleich lange Seiten
- Seiten: Gegenseiten parallel
- Winkel: Gegenwinkel gleich groß
- Diagonalen: senkrecht, halbierend, Symmetrieachsen
- Umfang: $U=4a$
- Fläche: $A=\frac{e\cdot f}{2}$ oder $A=a\cdot h_a$
- Sonderfall: Mit einem rechten Winkel entsteht ein Quadrat.
Abschluss-Check
Prüfe deine Ergebnisse immer in drei Schritten: Passt die Formel zu den gegebenen Größen? Hast du die Einheiten richtig eingesetzt? Ist das Ergebnis als Länge oder Fläche sinnvoll angegeben?