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Quadrate begegnen dir auf kariertem Papier, Spielfeldern, Fliesen und manchmal sogar beim Verpacken. Sie wirken einfach, aber an ihnen lernst du viele wichtige Ideen der Geometrie.
Hier lernst du, woran du ein Quadrat erkennst, wie du Umfang, Flächeninhalt und Diagonale berechnest und wie du typische Aufgaben sicher unterscheidest.
- Ich kann ein Quadrat an seinen Eigenschaften erkennen.
- Ich kann Umfang und Flächeninhalt eines Quadrats berechnen.
- Ich kann erklären, was die Diagonale ist.
- Ich kann entscheiden, welche Formel zu welcher Aufgabe passt.
- Ich kann Ergebnisse mit Einheiten sinnvoll angeben.
Was ist ein Quadrat?
Ein Quadrat ist ein besonderes Viereck. Es ist so regelmäßig, dass alle Seiten gleich lang sind und alle Ecken rechte Winkel haben.
Quadrat
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Ein rechter Winkel hat \(90^\circ\).
Ein Kästchen auf kariertem Papier ist meistens ein kleines Quadrat.
Alle vier Seiten sind gleich lang.
Jede Ecke sieht aus wie die Ecke eines Heftes, also wie ein rechter Winkel.
Deshalb ist das Kästchen ein Quadrat.
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Beim Quadrat müssen zusätzlich alle Seiten gleich lang sein.
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Seiten, Ecken und Winkel
Für Rechnungen nennt man die Seitenlänge eines Quadrats meistens \(a\). Weil alle Seiten gleich lang sind, reicht eine einzige Seitenlänge.
Seitenlänge
Die Seitenlänge \(a\) ist die Länge einer Seite des Quadrats. Beim Quadrat haben alle vier Seiten diese Länge.
Ein Quadrat hat die Seitenlänge \(a = 5\,\text{cm}\).
Dann sind alle Seiten \(5\,\text{cm}\) lang:
\(5\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).
Wenn in einer Aufgabe nur "Quadrat mit Seite \(6\,\text{cm}\)" steht, kennst du automatisch alle vier Seiten. Das ist der große Vorteil dieser Form.
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Umfang berechnen
Der Umfang ist die Länge einmal außen herum. Beim Quadrat addierst du vier gleiche Seiten.
Umfang eines Quadrats
Der Umfang \(U\) eines Quadrats ist die Gesamtlänge aller vier Seiten. Es gilt: \(U = 4 \cdot a\).
Ein Quadrat hat \(a = 7\,\text{cm}\).
Du gehst einmal außen herum:
\(U = 7\,\text{cm} + 7\,\text{cm} + 7\,\text{cm} + 7\,\text{cm}\)
\(U = 4 \cdot 7\,\text{cm}\)
\(U = 28\,\text{cm}\)
Der Umfang beträgt \(28\,\text{cm}\).
Umfang ist eine Länge. Die Einheit bleibt zum Beispiel \(\text{cm}\) oder \(\text{m}\).
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Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt sagt, wie viel Fläche im Inneren des Quadrats liegt. Du kannst ihn dir als Anzahl gleich großer Kästchen vorstellen.
Flächeninhalt eines Quadrats
Der Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats ist die Größe der Fläche innen. Es gilt: \(A = a \cdot a = a^2\).
Ein Quadrat hat \(a = 6\,\text{cm}\).
Du kannst dir \(6\) Reihen mit je \(6\) kleinen Quadraten vorstellen.
\(A = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}\)
\(A = 36\,\text{cm}^2\)
Der Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{cm}^2\).
Flächeninhalt hat Quadrateinheiten: \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\) oder \(\text{mm}^2\). Umfang hat keine Quadrateinheit.
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Die Diagonale
Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Im Quadrat gibt es zwei Diagonalen. Sie sind gleich lang.
Diagonale
Eine Diagonale ist eine Strecke von einer Ecke zu der gegenüberliegenden Ecke. Beim Quadrat teilt sie das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke.
Ein Quadrat hat \(a = 5\,\text{cm}\).
Die Diagonale ist die schräge Strecke durch das Quadrat.
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
Die Diagonale ist ungefähr \(7{,}07\,\text{cm}\) lang.
In Klasse 5 oder 6 musst du die Diagonale oft nur erkennen und einzeichnen. Die Berechnung mit \(\sqrt{2}\) kommt meistens später, wenn du den Satz des Pythagoras kennst.
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Prüfungsmodus: Formel erkennen
Viele Fehler passieren, weil Umfang und Flächeninhalt verwechselt werden. Lies deshalb genau, was gesucht ist.
Aufgabe: Ein quadratischer Garten hat eine Seitenlänge von \(12\,\text{m}\). Wie lang ist der Zaun außen herum?
"Zaun außen herum" bedeutet Umfang.
\(U = 4 \cdot 12\,\text{m} = 48\,\text{m}\)
Nicht \(12 \cdot 12\), denn das wäre die Fläche.
Aufgabe: Ein quadratisches Beet hat \(A = 49\,\text{m}^2\). Wie lang ist eine Seite?
Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst \(49\) ergibt.
\(7 \cdot 7 = 49\)
Also ist \(a = 7\,\text{m}\).
Signalwörter helfen: "außen herum", "Rand", "Zaun" deuten auf Umfang. "bedecken", "Fläche", "Teppich", "Kacheln" deuten auf Flächeninhalt.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Für den Umfang rechnest du \(U = 4a\), weil du alle vier Seiten addierst.
Für den Flächeninhalt rechnest du \(A = a^2\), weil du Länge mal Breite rechnest und beim Quadrat beides \(a\) ist. Achte immer auf die passende Einheit.