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Quadrat: Eigenschaften, Formeln und Berechnungen
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Aus diesen Eigenschaften kannst du seinen Umfang, seinen Flächeninhalt und seine Diagonale berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Quadrat?
Stell dir eine Bodenfliese vor. Gleich lange Seiten allein machen sie noch nicht zu einem Quadrat. Auch vier rechte Winkel allein reichen nicht. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein.
Quadrat
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier Innenwinkeln von jeweils $90^\circ$.
Seine vier Winkel ergeben zusammen:
$$4\cdot 90^\circ=360^\circ$$
Gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel. Benachbarte Seiten treffen sich dagegen im rechten Winkel und sind deshalb nicht parallel.
Ein Quadrat braucht immer vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
Wie ordnest du das Quadrat ein?
Ein Quadrat gehört gleichzeitig zu mehreren Gruppen von Figuren:
- Es ist ein Viereck, weil es vier Seiten und vier Ecken besitzt.
- Es ist ein Rechteck, weil es vier rechte Winkel besitzt.
- Es ist ein besonderes Rechteck, weil zusätzlich alle vier Seiten gleich lang sind.
Daraus folgt: Jedes Quadrat ist ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Ein Rechteck mit zwei unterschiedlich langen Seitenpaaren ist das passende Gegenbeispiel.
Eine Figur ist 6 cm lang und 3 cm breit. Alle Winkel sind rechte Winkel. Sie ist ein Rechteck, aber kein Quadrat, weil ihre vier Seiten nicht alle gleich lang sind.
Wie berechnest du Umfang und Fläche?
Die Seitenlänge eines Quadrats wird meist mit $a$ bezeichnet.
Der Umfang $U$ ist die Länge des gesamten Randes. Weil alle vier Seiten gleich lang sind, gilt:
$$U=4a$$
Der Flächeninhalt $A$ beschreibt die Größe der bedeckten Fläche. Du multiplizierst Länge und Breite. Beim Quadrat sind beide gleich $a$:
$$A=a\cdot a=a^2$$
Ein quadratisches Beet hat die Seitenlänge $a=5\,\text{m}$.
Für den Umfang rechnest du:
$$U=4\cdot 5\,\text{m}=20\,\text{m}$$
Für den Flächeninhalt rechnest du:
$$A=5\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=25\,\text{m}^2$$
Der Rand ist also 20 m lang. Das Beet bedeckt eine Fläche von 25 m².
Verwechsle die Einheiten nicht: Ein Umfang wird beispielsweise in Zentimetern oder Metern angegeben, eine Fläche in Quadratzentimetern oder Quadratmetern.
Ist der Flächeninhalt gegeben, erhältst du die Seitenlänge durch die Quadratwurzel. Bei $A=81\,\text{cm}^2$ gilt im Sachzusammenhang:
$$a=\sqrt{81\,\text{cm}^2}=9\,\text{cm}$$
Eine Seitenlänge ist nicht negativ. Deshalb passt hier nur der positive Wert.
Was verraten Diagonalen und Symmetrie?
Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Ein Quadrat besitzt zwei Diagonalen. Sie
- sind gleich lang,
- halbieren einander,
- schneiden sich rechtwinklig im Mittelpunkt,
- halbieren die Innenwinkel.
Eine Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke. Deren Katheten haben jeweils die Länge $a$. Mit dem Satz des Pythagoras folgt:
$$d^2=a^2+a^2=2a^2$$
Da eine Länge positiv ist, ergibt sich:
$$d=a\sqrt{2}$$
Für $a=4\,\text{cm}$ ist
$$d=4\sqrt{2}\,\text{cm}$$
Die Diagonale ist länger als eine Seite. Das passt zur Zeichnung, denn sie führt schräg von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke.
Ein Quadrat besitzt außerdem vier Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Es ist auch punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.
Warum bedeutet „zum Quadrat“ mal sich selbst?
Die Flächenformel erklärt den sprachlichen Zusammenhang. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 besteht aus $5\cdot5=25$ gleich großen Einheitsquadraten. Deshalb gilt:
$$5^2=5\cdot5=25$$
Die Rechnung heißt Quadrieren. Die hochgestellte 2 ist der Exponent und bedeutet hier: Multipliziere die Zahl mit sich selbst.
Quadrate natürlicher Zahlen heißen Quadratzahlen. Beispiele sind $1$, $4$, $9$, $16$ und $25$.
Auch negative Zahlen lassen sich quadrieren:
$$(-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25$$
Die Klammern sind entscheidend: Sie zeigen, dass die negative Zahl als Ganzes mit sich selbst multipliziert wird.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quadrat
- Erkennen: vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
- Einordnen: besonderes Rechteck und Viereck
- Berechnen: $U=4a$, $A=a^2$, $d=a\sqrt{2}$
- Diagonalen: gleich lang, senkrecht, gegenseitig halbierend
- Symmetrie: vier Achsen und ein Symmetriezentrum
- Quadrieren: $a^2=a\cdot a$
Abschluss-Check
Wenn du ein Quadrat untersuchst, gehe in dieser Reihenfolge vor: Prüfe Seiten und Winkel, wähle anschließend die zur gesuchten Größe passende Formel und kontrolliere zum Schluss Einheit und Plausibilität.