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Rechteck: Eigenschaften, Umfang und Fläche
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. Für die Seitenlängen $a$ und $b$ gilt: $U=2a+2b$ für den Umfang und $A=a\cdot b$ für den Flächeninhalt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Rechteck?
Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln von jeweils $90^\circ$. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
Die Diagonalen verbinden gegenüberliegende Ecken. In einem Rechteck sind sie gleich lang und halbieren sich gegenseitig an ihrem Schnittpunkt.
Jedes Rechteck besitzt mindestens zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Außerdem ist es punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Bei einem Quadrat sind auch die beiden Diagonalen Symmetrieachsen; es hat daher vier Symmetrieachsen.
Vier rechte Winkel sind das entscheidende Erkennungsmerkmal. Gleich lange gegenüberliegende Seiten allein reichen nicht aus.
Wie berechnest du Umfang und Flächeninhalt?
Der Umfang ist die Länge des gesamten Randes. Jede Seitenlänge kommt zweimal vor:
$$U=2a+2b=2(a+b)$$
Der Umfang hat eine Längeneinheit, zum Beispiel $\mathrm{cm}$.
Für $a=6\,\mathrm{cm}$ und $b=4\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$U=2\cdot6\,\mathrm{cm}+2\cdot4\,\mathrm{cm}=20\,\mathrm{cm}$$
Das Ergebnis beschreibt die gesamte Randlänge.
Der Flächeninhalt ist der bedeckte Bereich. Du kannst ihn als Zeilen mal Spalten von Einheitsquadraten verstehen:
$$A=a\cdot b$$
Die Einheit wird mitmultipliziert: $\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^2}$.
Für dieselben Seitenlängen gilt:
$$A=6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm^2}$$
Das Rechteck bedeckt $24$ Quadratzentimeter.
Beim Umfang addierst du Seitenlängen. Beim Flächeninhalt multiplizierst du zwei aneinanderliegende Seitenlängen.
Wie bestimmst du eine fehlende Seite?
Ist der Umfang gegeben, teile $U=2a+2b$ zuerst durch $2$ und ziehe dann die bekannte Seite ab:
$$b=\frac{U}{2}-a$$
Gegeben sind $U=40\,\mathrm{cm}$ und $a=5\,\mathrm{cm}$.
$$40\,\mathrm{cm}=2\cdot5\,\mathrm{cm}+2b$$
Nach dem Abziehen von $10\,\mathrm{cm}$ bleiben $30\,\mathrm{cm}=2b$. Durch Teilen durch $2$ folgt $b=15\,\mathrm{cm}$.
Die Probe $2\cdot5\,\mathrm{cm}+2\cdot15\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm}$ bestätigt das Ergebnis.
Ist der Flächeninhalt gegeben, teilst du durch die bekannte Seitenlänge:
$$b=\frac{A}{a}$$
Gegeben sind $A=30\,\mathrm{cm^2}$ und $a=6\,\mathrm{cm}$.
$$b=\frac{30\,\mathrm{cm^2}}{6\,\mathrm{cm}}=5\,\mathrm{cm}$$
Eine Längeneinheit bleibt übrig, weil $\mathrm{cm^2}:\mathrm{cm}=\mathrm{cm}$.
Wie ordnest und zerlegst du Rechtecke?
Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck: Es hat vier rechte Winkel und zusätzlich vier gleich lange Seiten. Daher ist jedes Quadrat ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
Setzt du $a=b$, werden die Rechteckformeln zu:
$$U=4a$$
$$A=a^2$$
Ein Quadrat mit $a=17\,\mathrm{cm}$ hat den Flächeninhalt
$$A=(17\,\mathrm{cm})^2=289\,\mathrm{cm^2}$$
Eine zusammengesetzte Figur kannst du in Rechtecke zerlegen. Berechne jede Teilfläche mit $A=a\cdot b$ und addiere anschließend. Für drei Teilrechtecke gilt:
$$A_{\mathrm{gesamt}}=A_1+A_2+A_3$$
Bevor du rechnest, müssen alle Seitenlängen dieselbe Einheit haben. Beispiel: $30\,\mathrm{mm}=3\,\mathrm{cm}$. Zusammen mit $b=9\,\mathrm{cm}$ erhältst du $U=24\,\mathrm{cm}$ und $A=27\,\mathrm{cm^2}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rechteck
- Eigenschaften
- vier rechte Winkel
- gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang
- Diagonalen gleich lang und gegenseitig halbiert
- Berechnungen
- Umfang: $U=2a+2b$
- Fläche: $A=a\cdot b$
- fehlende Seite durch Umstellen
- Beziehungen
- Quadrat als Spezialfall
- Teilflächen addieren
- Kontrolle
- gleiche Längeneinheiten
- passende Ergebniseinheit
- Eigenschaften
Abschluss-Check
Du hast das Ziel erreicht, wenn du zuerst die gesuchte Größe bestimmst, nur gleichartige Einheiten einsetzt und am Ende Formel, Zahl und Einheit prüfst.