Mit Google fortfahren
Haus der Vierecke: Arten erkennen und begründen
Das Haus der Vierecke ordnet Vierecksarten nach ihren Eigenschaften. Eine weiter oben eingeordnete Art erfüllt alle Bedingungen der darunter verbundenen Art und besitzt zusätzliche Eigenschaften. Deshalb ist zum Beispiel jedes Quadrat ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So liest du das Haus der Vierecke
Stell dir das Haus nicht als Rangliste vor. Ein Quadrat ist nicht „besser“ als ein anderes Viereck. Es erfüllt lediglich mehr besondere Bedingungen.
Spezialfall
Eine Vierecksart ist ein Spezialfall einer anderen Art, wenn sie alle Eigenschaften dieser allgemeineren Art besitzt und zusätzliche Bedingungen erfüllt.
Eine Verbindung wird von der allgemeineren zur spezielleren Art gelesen:
- Die untere Art legt grundlegende Eigenschaften fest.
- Die verbundene obere Art besitzt diese Eigenschaften ebenfalls.
- Sie erfüllt mindestens eine zusätzliche Bedingung.
Ein Parallelogramm besitzt zwei Paare paralleler Gegenseiten. Ein Rechteck besitzt diese Eigenschaft ebenfalls und hat zusätzlich vier rechte Winkel. Deshalb ist jedes Rechteck ein Parallelogramm.
Ein Quadrat hat ebenfalls zwei Paare paralleler Gegenseiten und vier rechte Winkel. Zusätzlich sind seine vier Seiten gleich lang. Damit ist jedes Quadrat sowohl ein Rechteck als auch ein Parallelogramm.
Eigenschaften werden entlang einer Verbindung zur spezielleren Art übernommen. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Daran erkennst du die Vierecksarten
Gegenseiten liegen einander gegenüber. Benachbarte Seiten treffen sich an einer Ecke. Parallele Seiten verlaufen stets in dieselbe Richtung und schneiden sich nicht.
Für das Trapez verwenden wir hier die inklusive Definition aus dem Haus: Es besitzt mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten. Dadurch sind auch Parallelogramme besondere Trapeze.
| Vierecksart | Kennzeichnende Eigenschaften |
|---|---|
| allgemeines Viereck | vier Seiten; keine weitere besondere Eigenschaft ist vorgeschrieben |
| Trapez | mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten |
| Parallelogramm | zwei Paare paralleler Gegenseiten |
| Rechteck | Parallelogramm mit vier rechten Winkeln |
| Raute | Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten |
| Drachenviereck | zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten |
| Quadrat | vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel |
Das Quadrat erfüllt gleichzeitig die Bedingungen mehrerer Arten: Es ist Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck.
Eine Figur darf mehrere richtige Bezeichnungen haben. „Quadrat“ ist die genaueste Bezeichnung, doch die allgemeineren Bezeichnungen bleiben ebenfalls richtig.
So begründest du Beziehungen
Eine richtige Begründung nennt nicht nur zwei Namen. Sie verbindet deren Eigenschaften.
Behauptung: Jedes Quadrat ist eine Raute.
Begründung: Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten und zwei Paare paralleler Gegenseiten. Es erfüllt daher alle Bedingungen einer Raute. Die vier rechten Winkel sind eine zusätzliche Eigenschaft des Quadrats.
Auch längere Verbindungsketten darfst du nutzen:
- Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
- Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
- Daher ist jedes Quadrat ein Parallelogramm.
Diese Weitergabe über mehrere Verbindungen heißt transitiv: Erfüllt eine Figur alle Rechteckbedingungen und erfüllt jedes Rechteck die Parallelogrammbedingungen, dann erfüllt die Figur auch die Parallelogrammbedingungen.
Behauptung: Nicht jedes Parallelogramm ist eine Raute.
Gegenbeispiel: Ein Rechteck mit den Seitenlängen $6\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ ist ein Parallelogramm. Seine benachbarten Seiten sind aber unterschiedlich lang. Deshalb sind nicht alle vier Seiten gleich lang, und das Rechteck ist keine Raute.
Um eine „Jedes“-Aussage zu widerlegen, genügt ein einziges passendes Gegenbeispiel.
So prüfst du alle, manche und keine
Wörter wie alle, manche und keine verändern eine mathematische Aussage grundlegend.
- Alle bedeutet: Die Aussage gilt ausnahmslos für jede Figur der genannten Art.
- Manche bedeutet: Mindestens eine solche Figur erfüllt die Aussage.
- Keine bedeutet: Es gibt kein einziges passendes Beispiel.
„Alle Rechtecke sind Quadrate.“ Die Aussage ist falsch. Das Rechteck mit den Seitenlängen $6\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ besitzt nicht vier gleich lange Seiten.
„Manche Rechtecke sind Quadrate.“ Die Aussage ist richtig. Jedes Quadrat erfüllt auch die Rechteckbedingungen.
„Kein Rechteck ist ein Drachenviereck.“ Die Aussage ist falsch. Ein Quadrat ist zugleich Rechteck und Drachenviereck.
So gehst du beim Prüfen vor:
- Übersetze die Aussage in Eigenschaften.
- Suche bei „alle“ nach einem Gegenbeispiel.
- Suche bei „manche“ nach mindestens einem Beispiel.
- Prüfe bei „keine“, ob sich die beiden Arten überschneiden können.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Haus der Vierecke
- Grundidee: Speziellere Arten übernehmen die Eigenschaften allgemeinerer Arten
- Trapez: mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten
- Parallelogramm: zwei Paare paralleler Gegenseiten
- Rechteck: Parallelogramm plus vier rechte Winkel
- Raute: Parallelogramm plus vier gleich lange Seiten
- Drachenviereck: zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten
- Quadrat: verbindet Rechteck- und Rauteneigenschaften
- Aussagen prüfen: Definitionen nutzen und Gegenbeispiele suchen
Abschluss-Check
Du beherrschst das Haus, wenn du eine Verbindung stets mit Eigenschaften begründen kannst: Welche Bedingungen gelten unten, und welche zusätzliche Bedingung kommt oben hinzu?